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UA PHYS515A 电磁理论V 电磁波与辐射3 偏振

發布時間：2025/4/14 编程问答 23 豆豆

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UA PHYS515A 電磁理論V 電磁波與輻射3 偏振

之前談到過電動力學討論的就是作為源頭的電荷與電流如何產生電磁場，以及由源頭激發出的電磁場又如何反作用于這些電荷與電流以及存在于介質中的電荷。因此即使我們可以“安排”電磁波的源，但是經過復雜的相互作用后從源頭激發出的電磁波依然可能是不同成分的波的疊加。不過我們也因此可以在wave vector (電磁波前進的方向)的法平面上去“過濾”出符合我們想要的振動方式的那些成分，這種操作叫polarization，在光學中一般翻譯為偏振，電磁學中比較常用的翻譯是極化。

真空中電磁波的wave vector，電場與磁場方向滿足右手法則， $E×B\textbf E \times \textbf B$ 的方向就是wave vector $k\textbf k$ ，也就是說wave vector的法平面可以表示為 $span(E,B)span(\textbf E,\textbf B)$ ，polarization從數學上可以理解成這種表示的推廣，也就是可以用法平面的任一一組基(正交基)代替 $E\textbf E$ 與 $B\textbf B$ 來表示法平面，記為 $(?^1,?^2)(\hat \epsilon_1,\hat \epsilon_2)$ ，
$span(E,B)=span(?^1,?^2)?^1×?^2=k^span(\textbf E,\textbf B) = span(\hat \epsilon_1,\hat \epsilon_2) \\ \hat \epsilon_1 \times \hat \epsilon_2 = \hat k$

這里上標hat表示某個向量的單位向量。下面來推導這種幾何替代怎么作用在電磁場上。

假設電磁場的source產生的電場由兩個component疊加而成，記為
$E(x,t)=(E01+E02)ei(k?x?wt)\textbf E(\textbf x,t) = (\textbf E_{01}+\textbf E_{02})e^{i(\textbf k \cdot \textbf x - wt)}$

這里 $x\textbf x$ 表示坐標，用 $(?^1,?^2)(\hat \epsilon_1,\hat \epsilon_2)$ 表示
$E=(E01?^1+E02?^2)ei(k?x?wt)E01=∣E01∣ei?1,E02=∣E02∣ei?2\textbf E = (E_{01}\hat \epsilon_1 + E_{02}\hat \epsilon_2)e^{i(\textbf k \cdot \textbf x - wt)} \\ E_{01} = |E_{01}|e^{i \phi_1}, E_{02} = |E_{02}|e^{i \phi_2}$

其中 $?1,?2\phi_1,\phi_2$ 分別表示兩個component的phase (相位)。綜合一下這兩行的式子：
$E(x,t)=(∣E01∣?^1+∣E02∣?^2ei(?2??1))ei(k?x?wt)+i?1\textbf E(\textbf x,t)=(|E_{01}|\hat \epsilon_1+|E_{02}|\hat \epsilon_2 e^{i(\phi_2-\phi_1)})e^{i(\textbf k \cdot \textbf x-wt)+i\phi_1}$

在這個式子中，兩個成分本身的初始相位是沒有物理意義的，起作用的是它們的相位差 $Δ?=?2??1\Delta \phi = \phi_2-\phi_1$ ，我們總是可以定義一個合適的“零時刻”，使得初始相位 $?1\phi_1$ 為0，我們討論一些例子：

Δ?=0\Delta \phi=0

，振動方向為

∣E01∣?^1+∣E02∣?^2|E_{01}|\hat \epsilon_1+|E_{02}|\hat \epsilon_2

，且不隨時間變化；這種polarization叫linear polarization，這種偏振在自然界中很少發生，但這種波的性質很簡單，所以在大學物理的物理光學部分討論光的偏振時最常用的假設就是線性偏振光；

Δ?=π2\Delta \phi = \frac{\pi}{2}

，記

k?x?wt=θ\textbf k \cdot \textbf x - wt = \theta

，則

E=∣E01∣?^1eiθ+∣E02∣?^2ei(θ+π2)Re[E]=∣E01∣cos?θ?^1+∣E02∣sin?θ?^2\textbf E = |E_{01}|\hat \epsilon_1 e^{i \theta} + |E_{02}| \hat \epsilon_2 e^{i(\theta+\frac{\pi}{2})} \\ Re[\textbf E] = |E_{01}| \cos \theta \hat \epsilon_1 + |E_{02}| \sin \theta \hat \epsilon_2

也就是說在波的法平面

(?^1,?^2)(\hat \epsilon_1,\hat \epsilon_2)

中，

E\textbf E

的相圖是橢圓，這種polarization叫做elliptical polarization；更特殊的一種情況是

E_{01}|=|E_{02}|

，這種polarization叫做circular polarization；

關于circular polarization我們可以再多討論一下，引入
$?^±=12(?^1±i?^2)\hat \epsilon_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat \epsilon_1 \pm i \hat \epsilon_2)$

正的表示在波傳播方向的法平面內順時針方向，負的表示法平面內逆時針方向，從而
$E=(E0+?^++E0??^?)ei(k?x?wt)\textbf E = (E_{0+} \hat \epsilon_{+}+E_{0-} \hat \epsilon_{-})e^{i(\textbf k \cdot \textbf x - wt)}$

第一項被稱為positive helicity wave，第二項被稱為negative helicity wave；一種比較重要的應用是在理論天文學中處理線性偏振光時我們可以把它分解為兩個相反方向的helicity wave，線性偏振光經過某些介質時，如果介質的permittivity與相位有關，那么線性偏振光的兩個helicity分量經過介質時的波速是不一樣的，這就導致線性偏振光但在法平面內的相圖不再是直線了，這種現象被稱為Faraday rotation，因此從理論的角度講，當我們在地球上接收到了某種電磁信號后，如果能計算出Faraday rotation，我們就可以獲得這種電磁信號從源頭傳播到地球的過程中所經歷的一些電磁場與介質的信息。

在上面提到的這個應用中，要接收信號是比較容易的，我們設想一種設備，它由一排平行的電線構成，當有電磁波經過這個設備時，如果偏振方向與電線方向垂直，那么電線中不會激發出電流；如果偏振方向與電線方向不完全垂直，那么電線中就會激發出電流。收集到電線中的電流信號，我們就可以解析出電磁場在電線方向的隨時間變化的信息。

在任意polarization中，
$E(x,t)=(∣E01∣?^1+∣E02∣?^2ei(?2??1))ei(k?x?wt)\textbf E(\textbf x,t)=(|E_{01}|\hat \epsilon_1+|E_{02}|\hat \epsilon_2 e^{i(\phi_2-\phi_1)})e^{i(\textbf k \cdot \textbf x-wt)}$

定義Stokes parameters為
$S0=∣E01∣2+∣E02∣2S1=∣E01∣2?∣E02∣2S2=2Re[(?^1?E)?(?^2)]=2∣E01∣∣E02∣cos?Δ?S3=2Im[(?^1?E)?(?^2)]=2∣E01∣∣E02∣sin?Δ?S_0 = |E_{01}|^2+|E_{02}|^2 \\ S_1 = |E_{01}|^2-|E_{02}|^2 \\ S_2 = 2 Re[(\hat \epsilon_1 \cdot \textbf E)^* (\hat \epsilon_2 \textbf)] = 2|E_{01}||E_{02}| \cos \Delta \phi \\ S_3 = 2Im[(\hat \epsilon_1 \cdot \textbf E)^* (\hat \epsilon_2 \textbf)] = 2|E_{01}||E_{02}| \sin \Delta \phi$

這幾個參數是通過上文提到的簡單設備就可以觀測到的，而知道這幾個參數后，我們就可以復原兩成分的任意偏振光的信息。

總結

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