UA OPTI570 量子力學1 電磁波與光子

• • Planck-Einstein Relations
  • Wave-Particle Duality與雙縫干涉
  • 光的偏振

Planck-Einstein Relations

早期，牛頓為了解釋光的反射之類的現(xiàn)象，把光理解成一束粒子；而在十九世紀上半葉，光的波動性（干涉、衍射等）被逐漸發(fā)現(xiàn)，這為之后把物理光學納入到電磁理論的框架內(nèi)奠定了基礎(chǔ)。在電磁理論框架下，光速$c$與Permittivity與Permeability直接相關(guān)，光的偏振也被認為是電磁場作為矢量場的表現(xiàn)。然而在1990年，普朗克在關(guān)于Blackbody Radiation（黑體輻射）這個電磁理論無法解釋的領(lǐng)域的研究中提出了quantization of energy假說：頻率為$\nu$的電磁波的能量只可能是$h\nu$的整數(shù)倍，這里的$h$是普朗克常數(shù)。愛因斯坦擴展了這個假設(shè)并運用到粒子物理中，他提出光是由一束Photon（光子）構(gòu)成的，每一個光子擁有的能量為$h\nu$，這個假設(shè)被愛因斯坦用于解釋Photoelectric Effect（光電效應）。1924年，Compton effect的發(fā)現(xiàn)證實了光子的存在。以上的種種發(fā)現(xiàn)說明光與介質(zhì)之間的交互并不能簡單理解為粒子與粒子、粒子與場之間的交互，而是應該視作整體來討論。體現(xiàn)光的粒子性的參數(shù)（能量$E$與一個光子的動量$\text{p}$）與體現(xiàn)光的波動性的參數(shù)（角頻率$w=2\pi \nu$與波向量$\text{k}$，$|\text{k}|=\frac{2\pi }{\lambda }$）之間存在下面的基本關(guān)系：
$$\begin{gathered} E=h\nu =?w \\ \text{p}=?\text{k} \end{gathered}$$

粗體表示矢量，$?$是約化普朗克常數(shù)，$?=\frac{h}{2\pi }$，
$$h\approx 6.26\times 10^{?34}J?s$$

Wave-Particle Duality與雙縫干涉

我們從楊氏雙縫干涉實驗開始分析，上圖part a就是楊氏雙縫干涉實驗裝置部分，假設(shè)最左端的光源向各個方向發(fā)出的光是相干的，經(jīng)過狹縫F1與F2后傳播到位于原點的屏上，可以觀察到光強的分布；假設(shè)光的粒子說成立，那么結(jié)果就應該如part b所示，屏上光強的分布就是經(jīng)過F1到達屏上的光強$I_1$與經(jīng)過F2到達屏上的光強$I_2$的簡單相加；但實際結(jié)果卻是如part c所示，屏上呈現(xiàn)明暗條紋交錯分布的特點，光強也是遵循一定規(guī)律在極大值與極小值之間震蕩的，而這種規(guī)律正好可以由光的波動性解釋，這些就是我們耳熟能詳?shù)臈钍想p縫干涉實驗的內(nèi)容（想了解更詳細的可以參考這一篇）。

但是關(guān)于楊氏雙縫干涉實驗還有一些有趣的細節(jié)。如果在屏上貼一張底片，并讓實驗持續(xù)較長時間，使得即使是暗條紋的位置也可以接收到足夠多的曝光，但實際結(jié)果卻是即使延長曝光時間，暗條紋依然存在，這進一步說明只靠光的粒子說解釋不了干涉現(xiàn)象；而如果只讓實驗持續(xù)非常短的時間，假設(shè)干涉現(xiàn)象可以只用光的波動說解釋，那么底片上依然會出現(xiàn)清晰的明暗條紋，然而實際卻是極短時間的曝光并不會出現(xiàn)明顯的干涉現(xiàn)象，這說明只靠光的波動說也解釋不了光的干涉。

這時只要回過頭再重新思考一下這個實驗就會發(fā)現(xiàn)，它的結(jié)果已經(jīng)摧毀了我們基于經(jīng)典力學的認知。第一點就是關(guān)于實驗中的測量，在經(jīng)典力學中，我們有很多手段在實驗對象的運動過程中測量其性質(zhì)，并且在測量的過程中對整個力學系統(tǒng)的影響非常小甚至可以忽略；但是在雙縫干涉實驗中，如果光源可以一個一個地發(fā)出光子，那么如果我們想在F2狹縫處測量到達這里的光子的屬性，它就到達不了屏上了，當經(jīng)過F2的光子都被這樣測量一次時，屏上的明暗干涉條紋都不會出現(xiàn)了，只會出現(xiàn)經(jīng)過F1的光子造成的單狹縫衍射條紋，也就是說測量會對系統(tǒng)造成極大影響。第二點是關(guān)于運動過程的確定性問題，在經(jīng)典力學中，固定參數(shù)的力學系統(tǒng)只要初始條件相同，就一定能夠產(chǎn)生一樣運動，但是在雙縫干涉實驗中，盡管所有的光子都是從同一個光源發(fā)出的，但經(jīng)過不同狹縫的光子明顯表現(xiàn)出了不同的性質(zhì)（如果性質(zhì)相同實驗結(jié)果會是前文圖中part b的結(jié)果），也就是即使初始條件一致也無法復制出相同的運動模式。

在面臨這么的挑戰(zhàn)的情況下，經(jīng)過物理學家們的不懈努力，波粒二象性(Wave-Particle Duality)的概念終于被提出來了，一些核心的結(jié)論如下：

光的粒子性與波動性與不可分割的，光的波動性讓我們可以去計算它的粒子性的行為的概率；

對光子的行為只能做出或然性的預測

在時間$t$時，關(guān)于光子的信息是由波函數(shù)$\text{E}(\text{r},t)$給定的，這個波函數(shù)就是Maxwell方程的解，它代表光子在給定位置-時間下的狀態(tài)，也可以被解釋為光子出現(xiàn)在此時此刻的概率幅（probability amplitude，實際概率會與概率幅的模的平方成正比）

基于波粒二象性，我們可以試圖去解釋雙縫干涉了：光子在到達屏之前出現(xiàn)在什么位置是不確定的，但是會遵循特定的概率分布，經(jīng)過F1與F2的光子依照惠更斯原理可以理解成從F1與F2這兩個相干光源發(fā)出來的，它們有不同的波函數(shù)$\text{E}(\text{r},t)$，所以有不同的概率分布；每一個到達屏上的光子就相當于它對應的概率分布的一個樣本，時間足夠長之后，樣本量足夠大，根據(jù)大數(shù)定律，屏上的條紋反應的其實是F1與F2這兩個相干光源發(fā)出來的兩種概率分布的疊加。

光的偏振

假設(shè)光沿$z$軸傳播，電場為$\text{E}(\text{r},t)=E_0{\text{e}}_p{e}^{i(\text{k}\text{z}?wt)}$，光強為$I=|E_0{|}^2$，xOy平面上有一個方向為${\text{e}}_x$的偏振片，則經(jīng)過偏振片后到達分析器A處時，電場偏振方向已經(jīng)變成了$\hat{x}$：
$${\text{E}}^{\prime }(\text{r},t)=E_0^{\prime }\text{x}{e}^{i(\text{k}\text{z}?wt)}$$

光強為
$$I^{\prime }=|E_0^{\prime }{|}^2=I{\cos }^2\theta$$

這是我們比較熟悉的，把光做矢量分解來解釋偏振的思路，現(xiàn)在我們可以嘗試用波粒二象性解釋一下光的偏振。同樣假設(shè)光子是一個一個從光源發(fā)出沿$z$軸運動的，每一個光子偏振方向都是隨機的，但是能通過偏振片的概率為${\cos }^2\theta$，于是在分析器A接收到足夠多光子后，根據(jù)大數(shù)定律，光強就會趨近于$I{\cos }^2\theta$。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI570 量子力学1 电磁波与光子的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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