UA OPTI512R 傅立葉光學(xué)導(dǎo)論8 多元脈沖函數(shù)

• • 可分離變量的函數(shù)
  • rect函數(shù)
  • sinc函數(shù)
  • gaus函數(shù)
  • 2-D Dirac函數(shù)
  • Cylinder Function
  • Sombrero Function
  • 極坐標(biāo)中的2-D Dirac函數(shù)

第五、六講介紹了一元的常用impulse-like functions以及Dirac函數(shù)，這一講介紹多元的impulse-like functions。

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可分離變量的函數(shù)

稱函數(shù)是可分離變量型的如果
$$f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$$

需要注意的是在一個(gè)坐標(biāo)系下可分離變量的函數(shù)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換到另一個(gè)坐標(biāo)系后可能就不能分離變量了。脈沖型函數(shù)大部分都被定義成可分離變量型的，可以借助這個(gè)性質(zhì)把一元的脈沖型函數(shù)推廣到多元。

rect函數(shù)

$$rect\left(\frac{x?x_0}{b},\frac{y?y_0}{d}\right)=rect\left(\frac{x?x_0}{b}\right)rect\left(\frac{y?y_0}{d}\right)$$

sinc函數(shù)

$$sinc\left(\frac{x?x_0}{b},\frac{y?y_0}{d}\right)=sinc\left(\frac{x?x_0}{b}\right)sinc\left(\frac{y?y_0}{d}\right)$$

gaus函數(shù)

$$Gaus\left(\frac{x?x_0}{b},\frac{y?y_0}{d}\right)=Gaus\left(\frac{x?x_0}{b}\right)Gaus\left(\frac{y?y_0}{d}\right)$$

2-D Dirac函數(shù)

$$\delta (x?x_0,y?y_0)=\delta (x?x_0)\delta (y?y_0)$$

同樣具有sifting property：
$${\int }_{y_1}^{y_2}{\int }_{x_1}^{x_2}f(x,y)\delta (x?x_0,y?y_0)dxdy=f(x_0,y_0){\chi }_{(x_1,x_2)\times (y_1,y_2)}(x_0,y_0)$$

需要注意一元Dirac函數(shù)對(duì)多元函數(shù)的篩選作用只對(duì)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)有效：
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x?x_0)f(x,y)dx=f(x_0,y)$$

它的作用是把$f(x,y)$投影到$x=x_0$上。了解到這點(diǎn)后即使是遇到下面這種積分也能一眼看出來(lái)
$${\int }_{?\infty }^{+\infty }\delta (x?y)f(x,y)dx=f(y,y)$$

這個(gè)積分的作用就是把$f(x,y)$投影到$x=y$上。

Cylinder Function

cylinder函數(shù)定義在極坐標(biāo)$(r,\theta )$中，它與直角坐標(biāo)的關(guān)系是
$$r=\sqrt{x^2+y^2},\theta =\arctan (y/x)$$或者$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

定義
$$cyl(r)=?\begin{array}{l}0,r>1/2\\ 1/2,r=1/2\\ 1,r<1/2\end{array}$$

它的形狀就是一個(gè)圓柱體

Sombrero Function

這個(gè)函數(shù)也定義在極坐標(biāo)系中，
$$Somb(r)=\frac{2J_1(\pi r)}{\pi r}$$其中$J_1$是一階第一類Bessel函數(shù)，它長(zhǎng)下面這樣，形狀很像sinc函數(shù)繞$y$軸轉(zhuǎn)一周的樣子。

極坐標(biāo)中的2-D Dirac函數(shù)

$$\begin{gathered} \delta (x?x_0,y?y_0)=\frac{\delta (r?r_0)\delta (\theta ?{\theta }_0)}{r_0} \\ {r}_0=\sqrt{x_0^2+y_0^2},{\theta }_0=\arctan (y_0/x_0) \end{gathered}$$

總結(jié)

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