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UA OPTI501 电磁波求解Maxwell方程组的波动方程方法

發(fā)布時(shí)間：2025/4/14 编程问答 28 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 UA OPTI501 电磁波求解Maxwell方程组的波动方程方法小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

UA OPTI501 電磁波求解Maxwell方程組的波動(dòng)方程方法

- 標(biāo)量勢(shì)滿足的2階PDE
- 矢量勢(shì)滿足的2階PDE
- Laplace算子的含義
- 標(biāo)量勢(shì)與矢量勢(shì)的平面波解

Maxwell方程組：
$??D=ρfree?×H=Jfree+??tD?×E=???tB??B=0\nabla \cdot \textbf D = \rho_{free} \\ \nabla \times \textbf H=\textbf J_{free}+\frac{\partial}{\partial t}\textbf D \\ \nabla \times \textbf E=-\frac{\partial}{\partial t}\textbf B \\ \nabla \cdot \textbf B=0$

用Electric bounded charge and current簡(jiǎn)化Macroscopic方程，考慮 $D\textbf D$ 與 $B\textbf B$ 的表達(dá)式
$D=?0E+PH=B?Mμ0\textbf D=\epsilon_0 \textbf E + \textbf P \\ \textbf H = \frac{\textbf B - \textbf M}{\mu_0}$ 引入electric bounded charge density $ρbound(e)\rho^{(e)}_{bound}$ 與electric bounded current density $Jbound(e)\textbf J^{(e)}_{bound}$ ，定義總電荷密度與總電流密度為
$ρtotal(e)=ρfree+ρbound(e)=ρfree???PJtotal(e)=Jfree+Jbound(e)=Jfree+??tP+1μ0?×M\rho^{(e)}_{total} =\rho_{free}+ \rho_{bound}^{(e)} = \rho_{free} - \nabla \cdot \textbf P \\ \textbf J^{(e)}_{total}=\textbf J_{free}+ \textbf J^{(e)}_{bound} =\textbf J_{free} + \frac{\partial }{\partial t} \textbf P + \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \textbf M$

由此可以得到用Electric bounded charge and current簡(jiǎn)化的Macroscopic方程：
$??E=ρtotal(e)?0?×B=μ0Jtotal(e)+μ0?0??tE?×E=???tB??B=0\nabla \cdot \textbf E =\frac{\rho_{total}^{(e)}}{\epsilon_0} \\ \nabla \times \textbf B=\mu_0 \textbf J^{(e)}_{total}+\mu_0 \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\textbf E \\ \nabla \times \textbf E=-\frac{\partial}{\partial t}\textbf B \\ \nabla \cdot \textbf B=0$

要進(jìn)一步簡(jiǎn)化這個(gè)方程，可以引入標(biāo)量勢(shì) $ψ\psi$ 與矢量勢(shì) $A\textbf A$ ，
$B=?×AE=??ψ???tA\textbf B = \nabla \times \textbf A \\ \textbf E = -\nabla \psi - \frac{\partial}{\partial t}\textbf A$

下面我們分別討論：

標(biāo)量勢(shì)滿足的2階PDE

考慮Maxwell方程1， $??E=ρtotal(e)?0\nabla \cdot \textbf E =\frac{\rho_{total}^{(e)}}{\epsilon_0}$ ，代入 $E=??ψ???tA\textbf E = -\nabla \psi - \frac{\partial}{\partial t}\textbf A$ ，
$??0???ψ??0??t?A=ρtotal(e)-\epsilon_0 \nabla \cdot \nabla \psi -\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\nabla \textbf A = \rho_{total}^{(e)}$

記 $Δ=?2=???\Delta=\nabla^2=\nabla \cdot \nabla$ ，這個(gè)算子被稱為L(zhǎng)aplace算子；在Lorenz Gauge下， $??A+1c2??tψ=0\nabla \cdot \textbf A+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\psi=0$ ，代入上述方程，
$Δψ?1c2?2?t2ψ=?1?0ρtotal(e)\Delta \psi -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi=-\frac{1}{\epsilon_0}\rho_{total}^{(e)}$

這個(gè)方程是一個(gè)典型的波動(dòng)方程，它描述的是以 $ρtotal(e)\rho_{total}^{(e)}$ 為源的波 $ψ\psi$ 的傳播規(guī)律，其中 $c$ 是波的傳播速度。用 $ψ\psi$ 與 $ρtotal(e)\rho_{total}^{(e)}$ 的Fourier逆變換替換，
$(Δ?1c2?2?t2)F?1[ψ]=?1?0F?1[ρtotal(e)]\left(\Delta -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \right)\mathcal{F}^{-1}[\psi]=-\frac{1}{\epsilon_0}\mathcal{F}^{-1}[\rho_{total}^{(e)}]$

假設(shè)這個(gè)方程解的形式為平面波，則
$(k2?w2c2)ψ(k,w)=1?0ρtotal(e)(k,w)ψ(k,w)=ρtotal(e)(k,w)?0(k2?w2c2)\left( k^2-\frac{w^2}{c^2} \right)\psi(\textbf k,w)=\frac{1}{\epsilon_0} \rho_{total}^{(e)}(\textbf k,w) \\ \psi(\textbf k,w)=\frac{\rho_{total}^{(e)}(\textbf k,w) }{\epsilon_0(k^2-\frac{w^2}{c^2})}$

這與我們用Fourier變換法得到的解一致；如果不要平面波解的假設(shè)，只做一般性討論，那么
$(Δ+w2c2)ψ(r,w)=?1?0ρtotal(e)(r,w)\left( \Delta+\frac{w^2}{c^2} \right)\psi(\textbf r,w)=-\frac{1}{\epsilon_0} \rho_{total}^{(e)}(\textbf r,w)$

這個(gè)方程被稱為Helmholtz方程，它的解法與Poisson方程類似，都可以用Green函數(shù)法。

矢量勢(shì)滿足的2階PDE

考慮Maxwell方程2， $?×B=μ0Jtotal(e)+1c2??tE?×(?×A)=μ0Jtotal(e)+1c2??t(??ψ???tA)\nabla \times \textbf B=\mu_0 \textbf J^{(e)}_{total}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\textbf E \\ \nabla \times (\nabla \times \textbf A)=\mu_0 \textbf J^{(e)}_{total}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left( -\nabla \psi - \frac{\partial}{\partial t}\textbf A\right)$

其中，
$?×(?×A)=?(??A)????A?(??A+1c2??tψ)?μ0Jtotal(e)=ΔA?1c2?2?t2A\nabla \times (\nabla \times \textbf A)=\nabla(\nabla \cdot \textbf A)-\nabla \cdot \nabla \textbf A \\ \nabla \left( \nabla \cdot \textbf A + \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t} \psi \right)-\mu_0 \textbf J^{(e)}_{total} = \Delta \textbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\textbf A$

在Lorenz Gauge下，
$??A+1c2??tψ=0\nabla \cdot \textbf A + \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t} \psi=0$

于是，
$ΔA?1c2?2?t2A=?μ0Jtotal(e)\Delta \textbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\textbf A=-\mu_0 \textbf J^{(e)}_{total}$

Laplace算子的含義

可以發(fā)現(xiàn)標(biāo)量勢(shì)與矢量勢(shì)滿足的方程是可以統(tǒng)一起來的， $(Δ?1c2?2?t2)?傳播規(guī)律[ψA]?電磁場(chǎng)的勢(shì)=[?1?0ρtotal(e)(r,w)?μ0Jtotal(e)]?電磁場(chǎng)的源\underbrace{\left( \Delta - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)}_{傳播規(guī)律} \underbrace{ \left[ \begin{matrix} \psi \\ \textbf A \end{matrix} \right] }_{電磁場(chǎng)的勢(shì)}=\underbrace{\left[ \begin{matrix} -\frac{1}{\epsilon_0} \rho_{total}^{(e)}(\textbf r,w)\\ -\mu_0 \textbf J^{(e)}_{total} \end{matrix} \right]}_{電磁場(chǎng)的源}$

其中描述傳播規(guī)律的算子為
$Δ?1c2?2?t2=?2?x2+?2?y2+?2?z2?1c2?2?t2\Delta - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$

在Minkowski時(shí)空 $(x, y, z, i c t)$ 中，這個(gè)算子其實(shí)就是關(guān)于四維時(shí)空坐標(biāo)的Laplace算子。下面簡(jiǎn)單討論一下 $ΔA\Delta \textbf A$ 的計(jì)算：
$ΔA=?(??A)??×(?×A)\Delta \textbf A=\nabla(\nabla \cdot \textbf A)-\nabla \times (\nabla \times \textbf A)$

考慮平面波解，用 $iki\textbf k$ 代入 $?\nabla$ ，在Fourier domain中，等式右邊為
$ik(ik?A)?i2k×(k×A)=?k2Ai\textbf k (i\textbf k \cdot \textbf A)-i^2 \textbf k \times (\textbf k \times \textbf A)=-k^2 \textbf A$

所以用Fourier逆變換表示 $ΔA\Delta \textbf A$ 為，
$ΔA=(2π)?4∫?∞+∞?k2A(k,w)ei(k?r?wt)dkdw\Delta \textbf A = (2\pi)^{-4} \int_{-\infty}^{+\infty}-k^2 \textbf A (\textbf k ,w)e^{i(\textbf k \cdot \textbf r - wt)}d \textbf k dw$

假設(shè)空間坐標(biāo)用笛卡爾坐標(biāo)系，那么
$ΔA=(ΔAx)x^+(ΔAy)y^+(ΔAz)z^\Delta \textbf A = ( \Delta A_x)\hat x + ( \Delta A_y)\hat y + ( \Delta A_z)\hat z$

但是在柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)中，這個(gè)結(jié)論并不成立，我們需要用Fourier逆變換的那個(gè)一般性式子計(jì)算。

標(biāo)量勢(shì)與矢量勢(shì)的平面波解

依然考慮平面波解，上文得到了Fourier domain中標(biāo)量勢(shì)的解為
$ψ(k,w)=ρtotal(e)(k,w)?0(k2?w2c2)\psi(\textbf k,w)=\frac{\rho_{total}^{(e)}(\textbf k,w) }{\epsilon_0(k^2-\frac{w^2}{c^2})}$

簡(jiǎn)單起見，要得到四維時(shí)空中標(biāo)量勢(shì)的解，可以直接計(jì)算它在Fourier domain中的解的逆變換，另外，在四維時(shí)空中，用 $(r,t)(\textbf r,t)$ 表示觀測(cè)位置，用 $(r′,t′)(\textbf r',t')$ 表示電磁場(chǎng)的源的位置，用 $r′′?r?r′\textbf r''-\textbf r - \textbf r'$ 作為一個(gè)輔助變量。
$ψ(r,t)=(2π)?4∫?∞+∞ψ(k,w)ei(k?r?wt)dkdw=(2π)?4∫?∞+∞ρtotal(e)(k,w)?0(k2?w2c2)ei(k?r?wt)dkdw=116π4?0∫?∞+∞ρtotal(e)(k,w)ei(k?r?wt)∫?∞+∞eiw∣r′′∣/c4π∣r′′∣e?ik?r′′dr′′dkdw=164π5?0∫?∞+∞eiw∣r′′∣/c∣r′′∣e?iwt∫?∞+∞ρtotal(e)(k,w)eik?(r?r′′)dkdwdr′′=18π2?0∫?∞+∞1∣r′′∣∫?∞+∞ρtotal(e)(r?r′′,w)e?iw(t?∣r′′∣/c)dwdr′′=14π?0∫?∞+∞ρtotal(e)(r?r′′,t?∣r′′∣/c)∣r′′∣dr′′\begin{aligned} \psi(\textbf r,t) & = (2 \pi)^{-4} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(\textbf k,w)e^{i(\textbf k\cdot \textbf r - wt)}d \textbf k d w \\ & = (2 \pi)^{-4} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\rho_{total}^{(e)}(\textbf k,w) }{\epsilon_0(k^2-\frac{w^2}{c^2})}e^{i(\textbf k\cdot \textbf r - wt)}d \textbf k d w \\ & = \frac{1}{16 \pi^4 \epsilon_0}\int_{-\infty}^{+\infty} \rho_{total}^{(e)}(\textbf k,w) e^{i(\textbf k\cdot \textbf r - wt)} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{iw|\textbf r''|/c}}{4 \pi |\textbf r''|}e^{-i \textbf k \cdot \textbf r''}d \textbf r''d \textbf k d w \\ & =\frac{1}{64 \pi^5 \epsilon_0} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{iw|\textbf r''|/c}}{|\textbf r''|} e^{-iwt} \int_{-\infty}^{+\infty} \rho_{total}^{(e)}(\textbf k,w)e^{i\textbf k \cdot (\textbf r - \textbf r'')}d \textbf kdw d \textbf r'' \\ & =\frac{1}{8 \pi^2 \epsilon_0}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|\textbf r''|} \int_{-\infty}^{+\infty} \rho_{total}^{(e)}(\textbf r - \textbf r'',w)e^{-iw(t-|\textbf r''|/c)}dw d \textbf r'' \\ & = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\rho^{(e)}_{total}(\textbf r - \textbf r'',t-|\textbf r''|/c)}{|\textbf r''|}d \textbf r''\end{aligned}$

第三個(gè)等號(hào)用的是 $1k2?w2/c2\frac{1}{k^2-w^2/c^2}$ 的Fourier變換式，第四個(gè)等號(hào)用的是Fubini定理，第五個(gè)等號(hào)與第六個(gè)等號(hào)用的是Fourier變換的定義。矢量勢(shì)的計(jì)算與之類似，最終得到的解為
$ψ(r,t)=14π?0∫?∞+∞ρtotal(e)(r′,t?∣r?r′∣/c)∣r?r′∣dr′A(r,t)=μ04π∫?∞+∞Jtotal(e)(r′,t?∣r?r′∣/c)∣r?r′∣dr′\psi(\textbf r,t)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\rho^{(e)}_{total}(\textbf r',t-|\textbf r - \textbf r'|/c)}{|\textbf r - \textbf r'|}d \textbf r' \\ \textbf A(\textbf r,t)=\frac{\mu_0}{4 \pi } \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\textbf J^{(e)}_{total}(\textbf r',t-|\textbf r - \textbf r'|/c)}{|\textbf r - \textbf r'|}d \textbf r'$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI501 电磁波求解Maxwell方程组的波动方程方法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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