UA OPTI501 電磁波 Lorentz Oscillator Model 4 Hilbet變換與Kramers-Konig關系式

• • 階梯響應與脈沖響應
  • Kramers-Konig關系式的推導

階梯響應與脈沖響應

我們之前用上圖所示質點-彈簧系統研究了介電材料極化性質的Lorentz模型，其中外部電場是簡諧振蕩的$(E_{x0}\cos (wt))$，但現在我們嘗試給這個質點-彈簧系統施加階梯型或者脈沖型外部電場，并推導電極化矢量。

在介紹Lorentz模型時，我們推導出來了質點-彈簧系統的振動方程為
$$\ddot{x}+\gamma \dot{x}+w_0^{2}x=?\frac{q}{m}E(t)$$

左右兩邊同乘以$?Nq\hat{E}$可得
$$\underset{介電材料的電極化}{\ddot{\text{P}}+\gamma \dot{\text{P}}+w_0^2\text{P}}=\underset{外部電場}{\frac{N{q}^2}{m}\text{E}}$$

這個式子說明外部電場作用下介電材料的電極化規律服從這個2階常系數向量常微分方程。

階梯響應
假設外部電場是一個階梯信號，$\text{E}=E_{0}step(t)\hat{x}$，則上述方程的解被稱為階梯響應，

脈沖響應
假設外部電場是一個脈沖信號，$\text{E}=E_0\delta (t)\hat{x}$，則上述方程的解被稱為脈沖響應，它的結果類似彈簧振子的阻尼振蕩。

并且$\text{P}$的Fourier變換為
$$\mathcal{F}[\text{P}]=\frac{{?}_0{w}_p^2{E}_0}{w_0^2?w^2?i\gamma w}={?}_0{E}_{0}C(w)$$

計算過程如下圖

Kramers-Konig關系式的推導

Kramers-Konig關系式闡述的是electric susceptiblility ${\chi }_e(w)={\chi }_e^{\prime }(w)+i{\chi }_e^{\prime \prime }(w)$的實部與虛部之間的關系，經推導發現${\chi }_e^{\prime }(w),{\chi }_e^{\prime \prime }(w)$互為Hilbert變換，即
$$\begin{gathered} {\chi }_e^{\prime }(w)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{\nu {\chi }^{\prime \prime }(\nu )}{{\nu }^2?w^2}d\nu \\ {\chi }_e^{\prime \prime }(w)=?\frac{2w}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{{\chi }^{\prime }(\nu )}{{\nu }^2?w^2}d\nu \end{gathered}$$

這個關系式被稱為克萊默-寇尼希關系式，它的物理基礎是外部電場與電極化之間的因果關系，在介電材料中，外部電場的存在是因，介電材料的電極化是果，不存在外部電場時，介電材料是無法自己激發出電極化的。

類似上文的脈沖響應與階梯響應，假設$\text{P}(\text{r},t)$表示$t>0$后外部電場引致的電極化，定義
$${\text{P}}_o=\frac{\text{P}(\text{r},t)?\text{P}(\text{r},?t)}{2},{\text{P}}_e=\frac{\text{P}(\text{r},t)+\text{P}(\text{r},?t)}{2}$$

二者之間滿足
$${\text{P}}_o={\text{P}}_{e}sign(t),{\text{P}}_e={\text{P}}_{o}sign(t)$$

它們的Fourier變換為

我們也可以用卷積定理計算它們的Fourier變換：由于
根據卷積定理，

根據Fourier變換的唯一性，直接計算得到的Fourier變換與用卷積定理得到的相等，所以

總結

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