UA MATH524 復變函數(shù)2 指數(shù)、對數(shù)與三角函數(shù)

指數(shù)函數(shù)

背景：在有了復數(shù)之后，數(shù)學家們開始把常用的函數(shù)也推廣到復數(shù)域上，其中一個非常重要的就是指數(shù)函數(shù)。從公理化的角度出發(fā)，指數(shù)函數(shù)最重要的性質(zhì)是
$$f(a+b)=f(a)f(b)$$

所以數(shù)學家們的目標是讓推廣到復數(shù)域上的指數(shù)函數(shù)也滿足這個性質(zhì)。既然如此，那么我們可以直接套用這個性質(zhì)，考慮$z=x+iy$，
$$e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}$$

其中$e^x$就是我們熟悉的實數(shù)域上的指數(shù)函數(shù)，但是$e^{iy}$又該如何定義呢？歐拉的看法是可以把它做Taylor展開：
$$e^{iy}=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(iy{)}^k}{k!}$$

這個形式雖然不夠直觀，但是我們可以判斷出它是一個復數(shù)，因此我們可以分別討論它的實部和虛部，當$k=2n,n=0,1,?$時，$(iy{)}^k=(?1{)}^n{y}^{2n}\in \mathbb{R}$，所以
$$Re[e^{iy}]=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(?1{)}^n{y}^{2n}}{(2n)!}=\cos y$$

當$k=2n?1,n=1,2,?$時，$(iy{)}^k=(?1{)}^{n?1}i{y}^{2n?1}$為純虛數(shù)，所以
$$Im[e^{iy}]=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(?1{)}^{n?1}{y}^{2n?1}}{(2n?1)!}=\sin y$$

綜上，
$$e^{iy}=\cos y+i\sin y$$

純虛數(shù)的指數(shù)函數(shù)，也是著名的歐拉公式。

定義：
$$e^z=e^x(\cos y+i\sin y),z=x+iy$$

性質(zhì)：

$e^{z_1+z_2}=e^{z_1}{e}^{z_2}$

$|e^z|=e^{Re[z]}$

$e^{z+2\pi i}=e^z$

如果$w=0$，$e^z=w$沒有根（對應下文對數(shù)函數(shù)在0處無定義）；如果$w=0$，$e^z=w$有無數(shù)個根（$Re[z]=\ln |w|,Im[z]=\arg (w)$）

對數(shù)函數(shù)

定義（結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)4理解）：
$$\log z=\ln |z|+i\arg (z)$$

可以發(fā)現(xiàn)這個式子并不符合函數(shù)的定義，它把一個復數(shù)映射成了一個集合，所以通常用幅角主值代替上式中的幅角，定義對數(shù)函數(shù)的Principal Branch為
$$Log(z)=\ln |z|+iArg(z)$$

需要注意的是在這個定義下，$Log(z_1{z}_2)=Log(z_1)+Log(z_2)$不一定成立，并且在$z=0$時，$\ln |z|$不存在，因此即使是復數(shù)域上的對數(shù)函數(shù)在0處也是沒有定義的。

有了對數(shù)函數(shù)后，可以定義以其他復數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)：
$$a^z=e^{z\log a}$$

如果$a$是正實數(shù)，則這個定義與實變函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)定義一致；如果$a$不是正實數(shù)，則
$$a^z=e^{z[\ln |a|+i\arg (a)]}=|a{|}^z{e}^{i\arg (a)}$$

三角函數(shù)

定義（三角函數(shù)的定義基于指數(shù)函數(shù)與歐拉公式）：

三角函數(shù)定義式

正弦	$\sin z=\frac{e^{iz}?e^{?iz}}{2i}$
余弦	$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{?iz}}{2}$
正切	$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$
余切	$\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}$
正割	$\sec z=\frac{1}{\cos z}$
余割	$\csc z=\frac{1}{\sin z}$

• 需要注意在使用歐拉公式定義三角函數(shù)時，具體的操作是根據(jù)$$\{\begin{array}{l}{e}^{iz}=\cos (z)+i\sin (z)\\ e^{?iz}=\cos (z)?i\sin (z)\end{array}$$解出正弦和余弦的表達式，但是其中有兩個預設條件：歐拉公式對復數(shù)也適用，復變量的正弦為奇函數(shù)、余弦為偶函數(shù)，這兩個條件均可以通過Taylor展開說明，前提是復變函數(shù)具有與實變函數(shù)的Taylor展開類似的性質(zhì)，而這也是后續(xù)我們要重點討論的內(nèi)容之一。

雙曲函數(shù)

定義：

雙曲函數(shù)定義式

雙曲正弦	$sinh(z)=\frac{e^z?e^{?z}}{2}$
雙曲余弦	$cosh(z)=\frac{e^z+e^{?z}}{2}$
雙曲正切	$tanh(z)=\frac{sinh(z)}{cosh(z)}$
雙曲余切	$coth(z)=\frac{cosh(z)}{sinh(z)}$
雙曲正割	$sech(z)=\frac{1}{cosh(z)}$
雙曲余割	$csch(z)=\frac{1}{sinh(z)}$

三角函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)：

周期性：$\cos (z+2\pi )=\cos (z),\sin (z+2\pi )=\sin (z)$

$\cos (x+iy)=\cos (x)cosh(y)?i\sin (x)sinh(y)$

$\sin (x+iy)=\sin (x)\cosh (y)+i\cos (x)sinh(y)$

$\sin (\frac{\pi }{2}+iy)=cosh(y)$

反三角函數(shù)

以反正弦函數(shù)為例，
$$w=\sin z$$

則$z$是$w$的反正弦函數(shù)，
$$w=\sin z=\frac{e^{iz}?e^{?iz}}{2i}?z=?i\log (iw+\sqrt{1?w^2})$$

可以發(fā)現(xiàn)反正弦函數(shù)的定義是基于對數(shù)函數(shù)的，考慮到反三角函數(shù)的值域一般為對應三角函數(shù)的一個周期，所以這里可以用對數(shù)函數(shù)的principal branch定義反正弦函數(shù)：
$$Arcsin(z)=?iLog(iz+\sqrt{1?z^2})$$

類似地，
$$\begin{gathered} Arccos(z)=?iLog(z+\sqrt{z^2?1}) \\ Arctan(z)=\frac{i}{2}Log\left(\frac{1?iz}{1+iz}\right),z= \end{gathered}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的UA MATH524 复变函数2 指数、对数与三角函数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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