UA MATH524 復(fù)變函數(shù)5 代數(shù)運算、可微性與積分基礎(chǔ)例題

例1 $z=1?2i$，$w=1+i$，計算$\frac{z}{z?2\bar{w}},z^{10},e^z,\cos z,\log (1?2i)$

答案
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\frac{z}{z?2\bar{w}}& =\frac{1?2i}{(1?2i)?2(1?i)}=\frac{1?2i}{?1}=?1+2i\end{array} \\ {z}^{10}=5^5(\cos (10\arctan (2))?i\sin (10\arctan (2))) \\ {e}^z=e\cos 2?ie\sin 2 \\ \cos z=\frac{e^{iz}+e^{?iz}}{2}=\frac{e^{2+i}+e^{?2?i}}{2}=ch(2)\cos 1+ish(2)\sin 1 \\ \log (1?2i)=\ln \sqrt{5}+i(\arctan (2)+2k\pi ),k\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

例2 用定義判斷$f(z)=(Im(z){)}^2$是否可微

答案 計算
$$\begin{array}{rl}\frac{f(z+h)?f(z)}{h}& =\frac{(Im(z+h){)}^2?(Im(z){)}^2}{h}\\ & =\frac{(Im(h){)}^2}{h}+2Im(z)\frac{Im(h)}{h}\end{array}$$

其中$|Im(h)|\le |y|$，因此$|\frac{Im(h)}{h}|\le 1$，且當(dāng)$h\to 0$時，$\frac{(Im(h){)}^2}{h}=\frac{Im(h)}{h}Im(h)\to 0$。

如果$z$為實數(shù)，則$2Im(z)\frac{Im(h)}{h}=0$，此時導(dǎo)數(shù)存在且為0；

如果$z$的虛部非0，因為$\frac{Im(h)}{h}$的極限不存在（$h$為實數(shù)，$\frac{Im(h)}{h}\to 0$，$h$為純虛數(shù)，$\frac{Im(h)}{h}\to 1$），所以導(dǎo)數(shù)不存在；

綜上，$f(z)$在$\mathbb{R}$上可微，但因為$\mathbb{R}$不是開集，所以它不是解析函數(shù)。

例3 用Cauchy-Riemann方程驗證下列函數(shù)是否可微

$\frac{1}{z?1}$

$|z{|}^2$

$Imz+iRez$

$Imz?iRez$

答案

$u+iv=\frac{1}{z?1}=\frac{1}{(x?1)+iy}=\frac{(x?1)?iy}{(x?1{)}^2+y^2}=\frac{(x?1)}{(x?1{)}^2+y^2}+i\frac{?y}{(x?1{)}^2+y^2}$, $$\begin{gathered} \frac{?u}{?x}=\frac{[(x?1{)}^2+y^2]?2(x?1{)}^2}{[(x?1{)}^2+y^2{]}^2}=\frac{y^2?(x?1{)}^2}{[(x?1{)}^2+y^2{]}^2} \\ \frac{?u}{?y}=\frac{?2(x?1)y}{[(x?1{)}^2+y^2{]}^2} \\ \frac{?v}{?x}=\frac{2(x?1)y}{[(x?1{)}^2+y^2{]}^2} \\ \frac{?v}{?y}=\frac{?[(x?1{)}^2+y^2]+2y^2}{[(x?1{)}^2+y^2{]}^2}=\frac{y^2?(x?1{)}^2}{[(x?1{)}^2+y^2{]}^2} \end{gathered}$$Above, $\frac{?u}{?x}=\frac{?v}{?y}$ and $\frac{?u}{?y}=?\frac{?v}{?x}$ if $z=1$. $\frac{1}{z?1}$ is holomorphic on $\mathbb{C}?\{1\}$

$u+iv=|z{|}^2=x^2+y^2$, $$\begin{gathered} \frac{?u}{?x}=2x \\ \frac{?u}{?y}=2y \\ \frac{?v}{?x}=0 \\ \frac{?v}{?y}=0 \end{gathered}$$ So $\frac{?u}{?x}=\frac{?v}{?y}$ and $\frac{?u}{?y}=?\frac{?v}{?x}$ holds only if $x=y=0$. Hence, $|z{|}^2$ is only differentiable at $z=0$, and it is not holomorphic.

$u+iv=Imz+iRez=y+ix$, $$\begin{gathered} \frac{?u}{?x}=0 \\ \frac{?u}{?y}=1 \\ \frac{?v}{?x}=1 \\ \frac{?v}{?y}=0 \end{gathered}$$ Note that $\frac{?u}{?y}=?\frac{?v}{?x}$. $Imz+iRez$ is not differentiable at any point.

$u+iv=Imz+iRez=y?ix$, $$\begin{gathered} \frac{?u}{?x}=0 \\ \frac{?u}{?y}=1 \\ \frac{?v}{?x}=?1 \\ \frac{?v}{?y}=0 \end{gathered}$$ So $\frac{?u}{?x}=\frac{?v}{?y}$ and $\frac{?u}{?y}=?\frac{?v}{?x}$ always holds. $Imz+iRez$ is entire.

例4 求下列級數(shù)的收斂半徑
$$f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }(?1{)}^n\frac{(z+i{)}^n}{(3i+4{)}^n}$$ 它在$z=4+i$處是否收斂？求$f^{\prime }(z)$及其收斂半徑。

答案 令$a_n=\frac{(?1{)}^n}{(3i+4{)}^n}$,
$$|a_n|=\frac{1}{5^n},\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n{|}^{1/n}=1/5?R=5$$

所以收斂域為$\{z:|z+i|<5\}$，如果$z=4+i$，則$|z+i|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}<5$，所以該級數(shù)在$z=4+i$處收斂。

$$f^{\prime }(z)=\sum _{n=1}^{+\infty }(?1{)}^n\frac{n(z+i{)}^{n?1}}{(3i+4{)}^n}$$

令$b_n=\frac{(?1{)}^{n}n}{(3i+4{)}^n}$，
$$|b_n|=\frac{n}{5^n},\underset{n\to \infty }{\lim }|b_n{|}^{1/n}=1/5?R^{\prime }=5$$

其中$n^{1/n}=e^{\frac{1}{n}\ln n}\to e^0=1$，所以$f^{\prime }(z)$的收斂半徑依然是5

例5 計算下列積分
$${\int }_{\gamma }\frac{z+1}{z}dz,{\int }_{\gamma }\frac{dz}{z^2}$$

其中$\gamma$為

方向為從$?1$到$1$的單位圓的上半部分；

方向為從$?1$到$1$的單位圓的下半部分；

答案
用$z=e^{it}$表示單位圓的參數(shù)方程，方向從$?1$到$1$的單位圓的上半部分為$t=\pi$到$t=0$，方向為從$?1$到$1$的單位圓的下半部分為$t=\pi$到$t=2\pi$；

方向為從$?1$到$1$的單位圓的上半部分$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{\int }_{\gamma }\frac{z+1}{z}dz& ={\int }_{\pi }^0\frac{1+e^{it}}{e^{it}}d{e}^{it}=?{\int }_0^{\pi }\frac{1+e^{it}}{e^{it}}i{e}^{it}dt\\ & =?i{\int }_0^{\pi }(1+e^{it})dt=?i\pi +2\end{array} \\ \begin{array}{r}{\int }_{\gamma }\frac{dz}{z^2}={\int }_{\pi }^0\frac{d{e}^{it}}{e^{2it}}=?i{\int }_0^{\pi }{e}^{?it}dt=?2\end{array} \end{gathered}$$

方向為從$?1$到$1$的單位圓的下半部分$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{\int }_{\gamma }\frac{z+1}{z}dz& ={\int }_{\pi }^{2\pi }\frac{1+e^{it}}{e^{it}}d{e}^{it}={\int }_{\pi }^{2\pi }\frac{1+e^{it}}{e^{it}}i{e}^{it}dt\\ & =i{\int }_{\pi }^{2\pi }(1+e^{it})dt=i\pi +2\end{array} \\ \begin{array}{r}{\int }_{\gamma }\frac{dz}{z^2}={\int }_{\pi }^{2\pi }\frac{d{e}^{it}}{e^{2it}}=i{\int }_0^{\pi }{e}^{?it}dt=?2\end{array} \end{gathered}$$

總結(jié)

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