UA OPTI544 量子光學9 2-level system approximation的向量模型

• • Bloch Vector與Optical Bloch Equation
  • • Bloch變量及其物理含義
    • Optical Bloch Equation的推導及其向量形式
    • Optical Bloch Equation的解

在2-level system approximation的Density Matrix模型中，我們提到了Density Matrix滿足下面的約束：
$$\{\begin{array}{l}\text{population}:{\rho }_{11}+{\rho }_{22}=1\\ \text{coherence}:{\rho }_{12}={\rho }_{21}^{?}\end{array}$$

由此得出Density Matrix只需要三個實變量就可以描述，所以Density Matrix的演化方程
$$?\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{11}=?{\Gamma }_1{\rho }_{11}+A_{21}{\rho }_{22}?\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}?{\chi }^{?}{\rho }_{21})\\ {\dot{\rho }}_{22}=?{\Gamma }_2{\rho }_{22}?A_{21}{\rho }_{22}+\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}?{\chi }^{?}{\rho }_{21})\\ {\dot{\rho }}_{12}=(i\Delta ?\beta ){\rho }_{12}+\frac{i{\chi }^{?}}{2}({\rho }_{22}?{\rho }_{11})={\dot{\rho }}_{21}^{?}\\ \beta =\frac{1}{\tau }+\frac{{\Gamma }_1+{\Gamma }_2}{2}+\frac{A_{21}}{2}\end{array}$$可以簡化為三個實變量的微分方程，這一講我們按這個思路進行推導。

Bloch Vector與Optical Bloch Equation

Bloch變量及其物理含義

為簡化模型，假設${\Gamma }_1={\Gamma }_2=0$，即不考慮粒子間的非彈性碰撞。定義
$$?\begin{array}{l}u={\rho }_{21}+{\rho }_{12}=2Re[{\rho }_{21}]\\ v=i({\rho }_{21}?{\rho }_{12})=2Im[{\rho }_{21}]\\ w={\rho }_{22}?{\rho }_{11}\end{array}$$

這三個變量被稱為Bloch Variables。定義Bloch vector為$$S=[u,v,w{]}^{\prime }$$

用Bloch Variables表示Density Matrix，
$$\rho =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{\rho }_{11}& {\rho }_{12}\\ {\rho }_{21}& {\rho }_{22}\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1?w& u+iv\\ u?iv& 1+w\end{array}\right]$$

因為$tr({\rho }^2)=\frac{1+|S{|}^2}{2}\le 1$，所以$|S{|}^2\le 1$，

• $|S{|}^2=1$，$tr({\rho }^2)=1$，此時Density Matrix表示的是pure state；
• $|S{|}^2<1$，$tr({\rho }^2)<1$，此時Density Matrix表示的是mixture state；
• $|S{|}^2=0$，$tr({\rho }^2)=1/2$，$\rho =diag(1/2,1/2)$，此時處于maximal mixture state；

$w$的含義是population inversion，也就是stimulated emission的概率與absorption的概率之差；因為電極化的期望為
$$?p?={\rho }_{12}{p}_{21}+{\rho }_{21}{p}_{12}=uRe[p_{12}]+vIm(p_{12})$$

所以$u$與$v$分別表示$?p?$與driving field $E$同相（in-phase）/正交（in-quadrature）的部分。

Optical Bloch Equation的推導及其向量形式

Bloch Variables $u,v,w$滿足的微分方程被稱為Optical Bloch Equation（OBE），假設$\chi =|\chi |e^{i?}$，則
$$\begin{gathered} \dot{u}=2Re[{\dot{\rho }}_{12}]=?\Delta v?|\chi |w\sin ? \\ \dot{v}=2Im[{\dot{\rho }}_{12}]=\Delta u+|\chi |w\cos ? \\ \dot{w}={\dot{\rho }}_{11}+{\dot{\rho }}_{22}=?|\chi |(v\cos ??u\sin ?) \end{gathered}$$

定義扭矩為
$$Q=[?|\chi |\cos ?,?|\chi |\sin ?,\Delta ]$$

則OBE可以用向量形式表示：
$$\dot{S}=Q\times S$$

根據向量形式可以驗證Bloch vector的長度守恒，
$$\dot{S^2}=S?\dot{S}+\dot{S}?S=S?(Q\times S)+(Q\times S)?S=0$$

因此Bloch Vector的演化不包含長度變化，只包含自旋，但只有在2-level system正好表示spin-1/2時，$S$才代表自旋角動量，具有實際物理意義；在一般情況下，$S$并不代表真實的自旋，所以被稱為pseudo-spin。

以$|\psi ?=\frac{|1??i|2?}{\sqrt{2}}$為例介紹用量子態計算Bloch Vector的方法：

計算Density Matrix $$\rho =\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ ?\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{i}{2}\\ ?\frac{i}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

根據Bloch Variables的定義計算$$?\begin{array}{l}u=2Re[{\rho }_{12}]=0\\ v=2Im[{\rho }_{12}]=1\\ w={\rho }_{22}?{\rho }_{11}=0\end{array}$$所以$|\psi ?$對應的Bloch Vector為$[0,?1,0{]}^{\prime }$

Optical Bloch Equation的解

OBE是三階常系數線性微分方程組，它的解是可以解析地寫出來的。但我們這里只討論兩種特殊情況。

Case 1: $\Delta =0,\chi \in \mathbb{R}$，此時OBE簡化為
$$?\begin{array}{l}\dot{u}=0\\ \dot{v}=\chi w\\ \dot{w}=?\chi v\end{array}$$

選擇合適的global phase factor使得$u(0)=0$，則$u$恒為0；$v,w$的解為
$$\{\begin{array}{l}v=?\sin \theta \\ w=?\cos \theta \end{array}$$

其中$\theta =\chi t$，也就是說$v,w$服從Rabi Oscillation。

Case 2：$\Delta =0$，$\chi =\chi (t)$，根據Pulse Area Theorem，
$$\{\begin{array}{l}v=?\sin \theta \\ w=?\cos \theta \end{array}$$

其中$\theta ={\int }_0^t\chi (t^{\prime })$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UA OPTI544 量子光学9 2-level system approximation的向量模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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