模糊聚類分析是模糊數學中應用最為廣泛的方法之一。近年來也涌現出了多種不同的模糊聚類方法，本文直接從其操作流程出發，介紹模糊聚類分析的主要內容。

1、一般流程

數據預處理相似關系建立聚類分析

2、數據預處理方法

這一過程通常是將數據壓縮到區間 $[0,1]$上以便于建立模糊矩陣。常用方法如下：

• 平移－標準差變換

$$x_{ik}^{\prime }=\frac{x_{ik}?\overline{x_k}}{s_k}(i=1,\dots ,n;k=1,\dots ,m)$$

其中,$\overline{x_k}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_{ik},s_k=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_{ik}?x_k\right)}^2}$

• 平移－極差變換

$$x^{\prime \prime }=\frac{x_{ik}^{\prime }?{\min }_{1\le i\le n}\left\{x_{ik}^{\prime }\right\}}{{\max }_{1\le i\le n}\left\{x_{ik}^{\prime }\right\}?{\min }_{1\le i\le n}\left\{x_{ik}^{\prime }\right\}}(k=1,\dots ,m)$$

3、相似關系的建立方法

相似關系建立主要分為：相似系數法、距離法和主觀評分法，其中前2者使用最多。

第一類：相似系數法

• 數量積法

$$r_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& i=j\\ \frac{1}{M}{\sum }_{k=1}^m{x}_{ik}{x}_{jk}& i=j\end{array}$$

其中 $M={\max }_{i=j}{\sum }_{k=1}^m{x}_{ik}{x}_{jk}$, 此時 $r_{ij}\in [?1,1]$

若存在 $r_{ij}<0$ 令所有 $r_{ij}^{\prime }=\left(1+r_{ij}\right)/2$ 使得 $r_{ij}^{\prime }\in [0,1]$

• 夾角余弦法: $r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^m{x}_{ik}{x}_{jk}}{\sqrt{{\sum }_{k=1}^m{x}_{ik}^2}{\sqrt{{\sum }_{k=1}^m{x}^2}}_{jk}}$

• 相關系數法:

  $$r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^m\left|x_{ik}?{\bar{x}}_i\Vert x_{jk}?{\bar{x}}_j\right|}{\sqrt{{\sum }_{k=1}^m{\left(x_{ik}?{\bar{x}}_i\right)}^2}\sqrt{{\sum }_{k=1}^m{\left(x_{jk}?{\bar{x}}_j\right)}^2}}$$

  其中 ${\bar{x}}_i=\frac{1}{m}{\sum }_{k=1}^m{x}_{ik},{\bar{x}}_j=\frac{1}{m}{\sum }_{k=1}^m{x}_{jk},i,j=1,2,\dots$

• 指數相似系數法

$$\begin{array}{l}{r}_i=\frac{1}{m}{\sum }_{k=1}^m\exp \left\{?\frac{3}{4}\frac{{\left(x_{ik}?x_{jk}\right)}^2}{s_k^2}\right\},i,j=1,2,\dots ，n.\\ s_k=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{\left(x_{ik}?\overline{x_k}\right)}^2},\overline{x_k}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{x}_{ik}(k=1,\dots m)\end{array}$$

• 最大最小法

$$r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^m\left(x_{ik}\wedge x_{jk}\right)}{{\sum }_{k=1}^m\left(x_{ik}\vee x_{jk}\right)}$$

• 算術平均最小法

$$r_{ij}=\frac{2{\sum }_{k=1}^m\left(x_{ik}\wedge x_{jk}\right)}{{\sum }_{k=1}^m\left(x_{ik}+x_{jk}\right)}$$

• 幾何平均最小法

$$r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^m\left(x_{ik}\wedge x_{jk}\right)}{{\sum }_{k=1}^m\sqrt{x_{ik}{x}_{jk}}}$$

第二類：距離法

• 絕對值倒數法

$$r_{ij}=\{\begin{array}{c}1,i=j\\ \frac{M}{m}\left|x_{ik}?x_{jk}\right|\end{array},i=j$$

• 絕對值指數法
  $$
  r_{i j} =\exp \left{-\sum_{k=1}^{m}\left|x_{i k}-x_{j k}\right|\right}

  $$

• 絕對值減數法

$$r_{ij}=\{1?c\sum _{k=1}^m\left|x_{ik}?x_{jk}\right|,i=j$$

其中$c$適當選取，使得 $r_{ij}$在 $[0,1]$ 內分散開

• 海明距離

$$r_{ij}=d\left(x_i,x_j\right)=\sum _{k=1}^m\left|x_{ik}?x_{jk}\right|$$

• 歐式距離

$$r_{ij}=d\left(x_i,x_j\right)=\sqrt{\sum _{k=1}^m{\left(x_{ik}?x_{jk}\right)}^2}$$

• 切比雪夫距離

$$r_{ij}=d\left(x_i,x_j\right)=\underset{k=1}{\overset{m}{?}}\left|x_{ik}?x_{jk}\right|$$

第三類：主觀判別法

這類方法是最為簡單的一類，首先由專家打分，給出所有關系的值，再對專家的意見進行加權求和即可。

用上述方法生成一個矩陣$R=(r_{ij}{)}_{n\times n}$即是相似矩陣，由于通常都要進行歸一化處理，其所有元素均在$[0,1]$區間上，因此該矩陣是一個模糊矩陣。

4、動態聚類的方法I-傳遞閉包法

• 傳遞閉包法：

  • 求出模糊相似矩陣$R$的傳遞閉包$t(R)$;
  • 按$\lambda$由大到小進行聚類, 這里$\lambda$是傳遞閉包中的元素，由大到小排列即可
  • 畫出動態聚類圖

• 傳遞閉包法舉例：

設有5組數據：
$$x_1=(80,10,6,2),x_2=(50,1,6,4),x_3=(90,6,4,6),x_4=(40,5,7,3),x_5=(10,1,2,4)$$
先對其進行歸一化處理，得到特性矩陣（每一行對應一組數據）：
$$\mathbf{X}=?\begin{array}{cccc}0.89& 1& 0.86& 0.33\\ 0.56& 0.10& 0.86& 0.67\\ 1& 0.60& 0.57& 1\\ 0.44& 0.5& 1& 0.5\\ 0.11& 0.10& 0.29& 0.67\end{array}?$$
通過兩次合成，得到其傳遞閉包：
$$t(R)=R^4=?\begin{array}{ccccc}1& 0.63& 0.62& 0.63& 0.53\\ 0.63& 1& 0.62& 0.70& 0.53\\ 0.62& 0.62& 1& 0.62& 0.53\\ 0.63& 0.70& 0.62& 1& 0.53\\ 0.53& 0.53& 0.53& 0.53& 1\end{array}?$$
對所有元素排序，容易得到：
$$1>0.70>0.63>0.62>0.53$$
因此依次取$\lambda$截矩陣，便可得到聚類結果：

• $\lambda =1$時： $X$ 被分成 5 類:

$$\left\{x_1\right\},\left\{x_2\right\},\left\{x_3\right\},\left\{x_4\right\},\left\{x_5\right\}$$

• $\lambda =0.7$時： $X$ 被分成 4 類:

$$\left\{x_1\right\},\left\{x_3\right\},\left\{x_2,x_4\right\},\left\{x_5\right\}$$

• $\lambda =0.63$時： $X$ 被分成 3 類:

$$\left\{x_1,x_2,x_4\right\},\left\{x_3\right\},\left\{x_5\right\}$$

• $\lambda =0.62$時： $X$ 被分成 2 類:

$$\left\{x_1,x_2,x_3,x_4\right\},\left\{x_5\right\}$$

• $\lambda =0.53$時： $X$ 被分成 1 類:

$$\left\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\right\}$$

5、動態聚類的方法II-直接聚類法

• 直接聚類法：

直接聚類法實際上與傳遞閉包法只有一個區別：即不用計算傳遞閉包，而是直接由相似矩陣進行聚類。

• 例：

仍以上例數據為基礎，直接根據相似矩陣給出$\lambda$由大到小的排序：
$$1>0.70>0.63>0.62>0.56>0.55>0.54>0.53>0.38>0.37>0.24$$
類似傳遞閉包的方法，此時仍然要考慮$\lambda =1,0.7,0.63,0.62$幾種情況的聚類，而上述方法已經將這些聚類結果給出了，因此只需要考慮其后的聚類。

• $\lambda =0.56,0.55,0.54$時： $X$ 被分成 2 類:

$$\left\{x_1,x_2,x_3,x_4\right\},\left\{x_5\right\}$$

也就是說，實際上$0.54\le \lambda \le 0.62$時聚類水平不變。而由上例知，在$\lambda =0.53$時所有類別已全部歸為同一類，因此不需要再繼續聚類了。

6、小結

模糊聚類的操作步驟內容豐富，但其主干框架實際上只有幾個關鍵的步驟，即本文開頭的那副圖。其中最關鍵的地方在于具體的聚類方法。

通過上述兩個例子的對比，可以看到這兩類方法各有優缺點：

• 傳遞閉包：
  • 優點：由傳遞閉包進行聚類時不會出現重復的聚類，在考慮聚類水平時操作簡單
  • 缺點：需要計算傳遞閉包，也就是在繼續聚類之前需要額外的操作
• 直接聚類：
  • 優點：不需要計算傳遞閉包，手工操作更加簡單
  • 缺點：由于相似矩陣本身不一定具有傳遞性，因此聚類過程中可能會出現較多的重復聚類的情況

那么自然地，在具體的問題中應根據實際情況選擇更有優勢的方法。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记：五、模糊聚类的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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