C語言標(biāo)準(zhǔn)C89里規(guī)定了3種浮點(diǎn)數(shù)，float型、double型和long double型，常見的浮點(diǎn)型長(zhǎng)度為float型占4個(gè)字節(jié)，double型占8個(gè)字節(jié)，long double型長(zhǎng)度要大于等于double型，下面將以float型為例進(jìn)行介紹，double型和long double型只是比float型位數(shù)長(zhǎng)，原理是一樣的 。

float型可以表示的十進(jìn)制范圍是-3.402823466e38~3.402823466e38，而作為同為4個(gè)字節(jié)的定點(diǎn)數(shù)卻只能表示-2147483648~2147483647的范圍，使用同樣的內(nèi)存空間，浮點(diǎn)數(shù)卻能比定點(diǎn)數(shù)表示大得多的范圍，這是不是太神奇了？既然浮點(diǎn)數(shù)能表示這么大的范圍，那么我們?yōu)楹尾皇褂酶↑c(diǎn)數(shù)來代替定點(diǎn)數(shù)呢？先不說浮點(diǎn)數(shù)實(shí)現(xiàn)起來比較復(fù)雜，有些處理器還專門配置了硬件浮點(diǎn)運(yùn)算單元用于浮點(diǎn)運(yùn)算，主要原因是浮點(diǎn)數(shù)根本就無法取代定點(diǎn)數(shù)，因?yàn)榫葐栴}。魚和熊掌不可兼得，浮點(diǎn)數(shù)表示了非常大的范圍，但它失去了精度。

ANSI/IEEE Std 754-1985標(biāo)準(zhǔn)

IEEE 754是最廣泛使用的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，被許多CPU與浮點(diǎn)運(yùn)算器所采用。IEEE 754規(guī)定了多種表示浮點(diǎn)數(shù)值的方式，下面介紹32位二進(jìn)制的float浮點(diǎn)類型。它被分為3個(gè)部分，分別是符號(hào)位S(sign bit)、指數(shù)偏差E(exponent bias)和小數(shù)部分F(fraction)，這三部分都是對(duì)應(yīng)二進(jìn)制碼的。

浮點(diǎn)表示的一般形式為(科學(xué)技術(shù)法規(guī)則)：R=(S) * (1 + F) * 2e (R：實(shí)數(shù) ? ? ? S：正負(fù)符號(hào)?? ? ?F：小數(shù)部分 ? ? e：指數(shù)，不同于指數(shù)偏差)。

符號(hào)位S：占1位，0代表浮點(diǎn)數(shù)是正數(shù)，1代表浮點(diǎn)數(shù)是負(fù)數(shù)。

指數(shù)偏差E：占8位，范圍是0~255，e = E - 127，e為正值表明轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制碼后，按科學(xué)計(jì)數(shù)法表達(dá)時(shí)向左移動(dòng)了e位， 負(fù)值表明向右移動(dòng)了e位。

小數(shù)部分F：占23位，實(shí)際上是將浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制碼，再按科學(xué)計(jì)數(shù)法表達(dá)，將其小數(shù)部分存在F上，由于二進(jìn)制碼按科學(xué)計(jì)數(shù)法表達(dá)后，只要值不為0，整數(shù)部分就必然為1，所以可以省略整數(shù)部分。

例如，3.75的二進(jìn)制碼為11.11，將該二進(jìn)制碼按科學(xué)計(jì)數(shù)法表達(dá)為1.111，則向左移動(dòng)了1位，即e=1，E=e+127=128，F記錄的便是小數(shù)部分，實(shí)際為111000...000。

下面介紹一下小數(shù)部分轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制碼的方式。類似于整數(shù)的形式(如7 = 22 + 21 + 20)，小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換形式為2-1、2-2、2-3、2-4......，例如0.5 = 2-1，即二進(jìn)制碼為0.1，0.05 = 2-5 + 2-6 + 2-9 + 2-10 + 2-13 + 2-14 +...... (可無限循環(huán))，即二進(jìn)制碼為0.00001100110011......。如果都以16位計(jì)，那么7的二進(jìn)制碼為0000000000000111，0.5的二進(jìn)制碼為0.1000000000000000，0.05的二進(jìn)制碼為0.0000110011001100。這是如何換算出來的呢？且看下面的算法便知：

換算0.5，乘法結(jié)果初始為0.5，所有乘數(shù)為2，每次用乘法結(jié)果 * 乘數(shù)，得到新的乘法結(jié)果，結(jié)果中的整數(shù)部分被提取出來，剩余的小數(shù)部分繼續(xù)參加下一次乘法運(yùn)算，直到剩余小數(shù)部分為0，或者無終點(diǎn)(無限循環(huán))。根據(jù)表格中的整數(shù)部分可知，二進(jìn)制為0.1。

整數(shù)部分

乘數(shù)

乘法結(jié)果

剩余小數(shù)部分

0.

2

0.5

0.5

1

1

0

結(jié)束

換算0.05，乘法結(jié)果初始為0.05，所有乘數(shù)為2，每次用乘法結(jié)果 * 乘數(shù)，得到新的乘法結(jié)果，結(jié)果中的整數(shù)部分被提取出來，剩余的小數(shù)部分繼續(xù)參加下一次乘法運(yùn)算，直到剩余小數(shù)部分為0，或者無終點(diǎn)(無限循環(huán))。根據(jù)表格中的整數(shù)部分可知，二進(jìn)制為0.00001100110011......。

整數(shù)部分

乘數(shù)

乘法結(jié)果

剩余小數(shù)部分

0.

2

0.05

0.05

0

2

0.1

0.1

0

2

0.2

0.2

0

2

0.4

0.4

0

2

0.8

0.8

1

2

1.6

0.6

1

2

1.2

0.2

0

2

0.4

0.4

0

2

0.8

0.8

1

2

1.6

0.6

1

1.2

0.2

無限循環(huán)

例1：float型浮點(diǎn)數(shù)125.5轉(zhuǎn)化成32位二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)。

125.5的整數(shù)和小數(shù)部分的二進(jìn)制碼分別為1111101和0.1，于是125.5的二進(jìn)制碼為1111101.1，按科學(xué)技術(shù)法寫為1.1111011*26，即向左移6位，則e=6，E=e+127=133，133的二進(jìn)制碼為10000101。而1.1111011把整數(shù)部分的1去掉后，剩下小數(shù)部分為1111011，之后補(bǔ)0至23位，構(gòu)成F。所以125.5的32位二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)為：

0 ?10000101 ?11110110000000000000000

例2：float型浮點(diǎn)數(shù)0.5轉(zhuǎn)化成32位二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)。

類似的，0.5的二進(jìn)制碼為0.1，按科學(xué)技術(shù)法寫為1.0*2-1，即向右移1位，則e=-1，則E=e+127=126，126的二進(jìn)制碼為01111110。而1.0把整數(shù)部分的1去掉后，剩下小數(shù)部分為0，之后補(bǔ)0至23位，構(gòu)成F。所以0.5的32位二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)為：

0 ?01111110 ?00000000000000000000000

幾個(gè)特殊的情形

E=0，F=0時(shí)，表示浮點(diǎn)數(shù)0，此時(shí)浮點(diǎn)數(shù)受S影響，表現(xiàn)出+0和-0兩種0，但數(shù)值是相等的。比如二進(jìn)制數(shù)0x00000000表示+0，二進(jìn)制數(shù)0x80000000表示-0。

E=0，F不等于0時(shí)，浮點(diǎn)數(shù)為(S) * (F) * 2e，注意e為-126，而不是0-127=-127，而且F是0.xxx格式而不是1.xxx格式，比如0x00000001的浮點(diǎn)數(shù)為2-126*2-23=1.4012984643248170709237295832899e-45，而不是20-127*(1+2-23)。E從0變?yōu)?，不會(huì)產(chǎn)生增加2倍的關(guān)系，而是計(jì)算公式改變了(恢復(fù)正常公式)。

E=255，F不等于0時(shí)，表示非數(shù)值，也就是說是非法數(shù)，例如0x7F800001。

E=255，F=0時(shí)，表示無窮大的數(shù)，此時(shí)浮點(diǎn)數(shù)受S影響，例如0x7F800000表示正無窮大，0xFF800000表示負(fù)無窮大。做除法時(shí)，如果除以0時(shí)，結(jié)果將被記作0x7F800000。

浮點(diǎn)數(shù)的精度

從前文中可以看到，1.xxx這類浮點(diǎn)數(shù)中，F部分最小的是2-23，對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為1.00000011920928955078125，可以精確表示到小數(shù)點(diǎn)后23位，但是一些C語言書上卻說float型的有效位只有6~7位，這是為什么呢？原因在于二進(jìn)制小數(shù)與十進(jìn)制小數(shù)沒有完全一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，二進(jìn)制小數(shù)相比十進(jìn)制小數(shù)來說，是離散而不是連續(xù)的，我們來看看下面這些數(shù)字：

二進(jìn)制小數(shù)　　　　十進(jìn)制小數(shù)

2-23　　　　　　　1.00000011920928955078125

2-22　　　　　　　1.0000002384185791015625

2-21　　　　　　　1.000000476837158203125

2-20　　　　　　　1.00000095367431640625

2-19　　　　　　　1.0000019073486328125

2-18　　　　　　　1.000003814697265625

這里只需要關(guān)注F，上面列出了1.xxx這類浮點(diǎn)數(shù)中的6個(gè)最小的二進(jìn)制小數(shù)，及其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。可以看到使用二進(jìn)制所能表示的最小小數(shù)是1.00000011920928955078125，其次是1.0000002384185791015625，這兩個(gè)數(shù)之間是有間隔的，如果想用二進(jìn)制小數(shù)來表示8位有效數(shù)(只算小數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)前面的1是隱藏的默認(rèn)值)1.00000002、1.00000003、1.00000004......這些數(shù)是無法辦到的，而7位有效數(shù)1.0000001可以用2-23來表示，1.0000002可以用2-22來表示，1.0000003可以用2-23+2-22來表示。從這個(gè)角度來看，float型所能精確表示的位數(shù)只有7位，7位之后的數(shù)雖然也是精確表示的，但卻無法表示任意一個(gè)想表示的數(shù)值。

但還是有一些例外的，比如說7位有效數(shù)1.0000006這個(gè)數(shù)就無法用F表示，這也表明二進(jìn)制小數(shù)對(duì)于十進(jìn)制小數(shù)來說相當(dāng)于是離散的，剛好湊不出1.0000006這個(gè)數(shù)，從這點(diǎn)來看float型所能精確表示的位數(shù)只有6位。因此float型的有效位數(shù)是6~7位，但這個(gè)說法應(yīng)該不是非常準(zhǔn)確，準(zhǔn)確來說應(yīng)該是6位，C語言的頭文件中規(guī)定也是6位。對(duì)于一個(gè)很大的數(shù)，例如1234567890，它是由于指數(shù)E系數(shù)而被放大了的，但它的有效位仍然是F所能表示的6~7位有效數(shù)字。1234567890用float表示后為1234567936，只有高7位是有效位，后3位是無效的。int型可以準(zhǔn)確的表示1234567890，而float浮點(diǎn)數(shù)則只能近似的表示1234567890，精度問題決定了float型無法取代int型。

總結(jié)

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