[有向圖強連通分量]

在有向圖G中，如果兩個頂點間至少存在一條路徑，稱兩個頂點強連通(stronglyconnected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。非強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱為強連通分量(strongly connected components)。

下圖中，子圖{1,2,3,4}為一個強連通分量，因為頂點1,2,3,4兩兩可達。{5},{6}也分別是兩個強連通分量。

直接根據定義，用雙向遍歷取交集的方法求強連通分量，時間復雜度為O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，兩者的時間復雜度都是O(N+M)。本文介紹的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于對圖深度優先搜索的算法，每個強連通分量為搜索樹中的一棵子樹。搜索時，把當前搜索樹中未處理的節點加入一個堆棧，回溯時可以判斷棧頂到棧中的節點是否為一個強連通分量。

定義DFN(u)為節點u搜索的次序編號(時間戳)，Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節點的次序號。由定義可以得出，

Low(u)=Min{DFN(u),Low(v),(u,v)為樹枝邊，u為v的父節點 ??? ???????DFN(v),(u,v)為指向棧中節點的后向邊(非橫叉邊)}

當DFN(u)=Low(u)時，以u為根的搜索子樹上所有節點是一個強連通分量。

算法偽代碼如下

tarjan(u) { ?DFN[u]=Low[u]=++Index??????? // 為節點u設定次序編號和Low初值 ?Stack.push(u)??????????????? // 將節點u壓入棧中 ?for each (u, v) in E???????? // 枚舉每一條邊 ? if (v is not visted)??????? // 如果節點v未被訪問過 ?? tarjan(v)????????????????? // 繼續向下找 ?? Low[u] = min(Low[u], Low[v]) ? else if (v in S)??????????? // 如果節點u還在棧內 ?? Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) ?if (DFN[u] == Low[u])??????? // 如果節點u是強連通分量的根 ? repeat ?? v = S.pop??????????? ?????// 將v退棧，為該強連通分量中一個頂點 ?? print v ? until (u== v) }

接下來是對算法流程的演示。

從節點1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜索到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通分量。退棧到u=v為止，{6}為一個強連通分量。

返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧后{5}為一個強連通分量。

返回節點3，繼續搜索到節點4，把4加入堆棧。發現節點4像節點1的后向邊，節點1還在棧中，所以LOW[4]=1。節點6已經出棧，不再訪問6，返回3，(3,4)為樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

繼續回到節點1，最后訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=4。返回1后，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點全部取出，組成一個連通分量{1,3,4,2}。

至此，算法結束。經過該算法，求出了圖中全部的三個強連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以發現，運行Tarjan算法的過程中，每個頂點都被訪問了一次，且只進出了一次堆棧，每條邊也只被訪問了一次，所以該算法的時間復雜度為O(N+M)。

求有向圖的強連通分量還有一個強有力的算法，為Kosaraju算法。Kosaraju是基于對有向圖及其逆圖兩次DFS的方法，其時間復雜度也是 O(N+M)。與Trajan算法相比，Kosaraju算法可能會稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對原圖進行一次DFS，不用建立逆圖，更簡潔。 在實際的測試中，Tarjan算法的運行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，該Tarjan算法與求無向圖的雙連通分量(割點、橋)的Tarjan算法也有著很深的聯系。學習該Tarjan算法，也有助于深入理解求雙連通分量的Tarjan算法，兩者可以類比、組合理解。

求有向圖的強連通分量的Tarjan算法是以其發明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan還發明了求雙連通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的離線Tarjan算法，在此對Tarjan表示崇高的敬意。

void tarjan(int i)
{
?int j;
?DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
?instack[i]=true;
?Stap[++Stop]=i;
?for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
?{
? j=e->t;
? if (!DFN[j])
? {
?? tarjan(j);
?? if (LOW[j]<LOW[i])
??? LOW[i]=LOW[j];
? }
? else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
?? LOW[i]=DFN[j];
?}
?if (DFN[i]==LOW[i])
?{
? Bcnt++;
? do
? {
?? j=Stap[Stop--];
?? instack[j]=false;
?? Belong[j]=Bcnt;
? }
? while (j!=i);
?}
}
void solve()
{
?int i;
?Stop=Bcnt=Dindex=0;
?memset(DFN,0,sizeof(DFN));
?for (i=1;i<=N;i++)
? if (!DFN[i])
?? tarjan(i);
}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Targan 算法[有向图强连通分量]的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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