People who play with bits should expect to get bitten.

-- Jurg Nievergelt

I failed math twice, never fully grasping probability theory.

I mean, first off, who cares if you pick a black ball or a white ball out of the bag?

And second if you’re bent over about the color, don’t leave it to chance.

Look in the damn bag and pick the color you want.

-- Stephanie Plum

這篇文章接著講怎樣高效地遍歷所有的組合。同樣，假定全集的大小不大于機器字長，計算模型為 word-RAM，即諸如 +, –, *, /, %, &, |, >>, << 等此類操作皆可以在 O(1) 時間內完成。當然，一般 / 和 % 操作明顯要慢上一些，因此我們總是希望能夠盡量避免使用兩個操作。在上一篇 blog 中的子集遍歷比較簡單，基本上只用到了 +, – , & 三種操作。而組合遍歷相對要復雜得多，一些讓人不舒服的操作總是難以避免。下面將要介紹兩種完全不同的組合遍歷算法，其中一種用到了 / 操作，而另一種則使用了三目運算符。盡管不算十分完美，也應該是足夠高效啦。

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2 遍歷所有組合

2.1 colex & reverse colex

說到各種位運算技巧，早年從 MIT 流傳出來的一份技術報告 HAKMEM 可謂是一本黑暗圣經。在 HAKMEM 的第175條中記錄著一個非常巧妙而實用的技巧，被稱為 Gosper’s hack，它僅僅使用幾個非常簡單的算術運算和位運算，即可得到與當前所輸入的整數含有相同數目的1的下一個整數：

s = x & (-x);

r = s + x;

n = r | (((x ^ r) >> 2) / s);

在上面這段代碼中 x 是輸入，n 是輸出，為大于 x 且與 x 含1個數相同的最小整數。比如若輸入 x = 0b0101, 那么將輸出 n = 0b0110。使用這一技巧使得我們可以非常容易地生成所有組合，代碼如下：（這是一個成員函數，完整的代碼可在位運算與組合搜索（一）所附的壓縮包中找到）：

bool next(unsigned long &x) const {if (x == last_) return false;unsigned long r, s;s = x & (-(long)x);r = s + x;x = r | (((x ^ r) >> 2) / s);return true; }

上面代碼中的 last_ 表示的是最后一個組合。這里遍歷組合的序為 colex，最小的組合是所有1都在低位，而最大的組合（即 last_） 是當所有1都在高位。比如若全集為 {a, b, c, d, e}，我們用以上代碼遍歷其所有大小為2的子集，順序將如下表所示：

序號	值	位串	子集
1	0b00011	11000	{a, b}
2	0b00101	10100	{a, c}
3	0b00110	01100	{b, c}
4	0b01001	10010	{a, d}
5	0b01010	01010	{b, d}
6	0b01100	00110	{c, d}
7	0b10001	10001	{a, e}
8	0b10010	01001	{b, e}
9	0b10100	00101	{c, e}
10	0b11000	00011	{d, e}

現在稍微來解釋 Gosper’ hack 是怎樣工作的：

第一條語句：s = x & (-x)， 用于標識出 x 最低位的1（設最低的1右邊有 c 個0）。 e.g. 0b10110 –> 0b00010

第二條語句：r = s + x， 將 x 右端的連續一段1清零（紅色標識的部分，設這一段有 k 個1），并將前一位設為1。 e.g. 0b10110 –> 0b11000

第三條語句：n = r | (((x ^ r) >> 2) / s)， 這里先用 x 異或 r 得到 k + 1 + c 個連續的1。然后右移 2 位，再除于 s （相當于右移 c 位），得到 k – 1 位連續的1，最后添加到 r 的最右邊，打完收工。e.g. 0b11000 | 0b00001 = 0b11001

由于該 hack 中的除法實際上只是用來移位的，因此可以想辦法繞過去 （如果你實在看不順眼那個除號的話）。比如可以使用 bsr 指令計算出 c ，然后直接移位即可。但經過我的測試，發現還是直接除法來得比較快。

// Find last bit set static inline unsigned long __fls(unsigned long x) {__asm bsr eax, x; }

現在如果想要反向生成所有的組合那又該如何呢，其實很簡單，因為 colex 具有一種某種意義上的對稱性：某個組合的前一個組合等于這個組合的補集的下一個組合的補集。如果我們想要得到組合 x 按照 colex 的上一個組合，只需生成 ~x 的下一個組合，再取反即可：

bool prev(unsigned long &x) const {if (x == first_) return false;x = ~x;next(x);x = ~x;return true; }

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2.2 cool-lex & reverse cool-lex

cool-lex，顧名思義，就是非常 cool 的 lex。cool-lex 是由 Frank Ruskey 和 Aaron Williams 發明的，如果想要詳細的了解 cool-lex 的性質，可以看一下參考文獻6。另外在這里還有一段 cool-lex 的音樂，感興趣的可以試聽一下。雖然它不怎么好聽，也顯然不可能給你帶來關于 cool-lex 的任何洞見。下面我只簡單介紹一下怎樣按照 cool-lex 或者反向 cool-lex 進行組合遍歷。

cool-lex 的生成算法是基于后綴旋轉的（如果是針對位串表示則是前綴旋轉，但下面我們都是針對二進制整數表示，也就是低位在右邊）：找到最短的以010或者110開始的后綴（如果不存在則選定全部位），然后向左旋轉1位。比如組合0b01101,? 首先找出最短的以010或者110開始的后綴（用紅色表示）：0b01101，然后將這個后綴向左旋轉1位（即循環左移1位）即得到下一個組合：0b01011。

如何借助于位運算高效的完成后綴旋轉呢，Donald 在 TAoCP 中7.2.1.3節習題55的答案中給出了一個 MMIX 實現。下面的代碼是我寫的一個C++版：

bool next(unsigned long &x) const {if (x == last_) return false;unsigned long r, s;r = x & (x + 1);s = r ^ (r - 1);r = ((s + 1) & x) ? s : 0;x = x + (x & s) - r;return true; }

上面代碼中的 last_ 當然也是指最后一個組合。cool-lex 中的第一個組合也是所有1在低位，即類似于這樣：0b0…01…1。最后一個組合是1個1在最高位，而其余的1在低位，即形如 0b10…01…1。這段代碼到底是怎么起作用的？你猜！我就不分析了，不過我等下會詳細解釋生成 reverse cool-lex 的代碼。下表是 cool-lex 序的一個例子（同樣，全集為 {a, b, c, d, e}，子集大小為 2）：

序號	值	位串	子集
1	0b00011	11000	{a, b}
2	0b00110	01100	{b, c}
3	0b00101	10100	{a, c}
4	0b01010	01010	{b, d}
5	0b01100	00110	{c, d}
6	0b01001	10010	{a, d}
7	0b10010	01001	{b, e}
8	0b10100	00101	{c, e}
9	0b11000	00011	{d, e}
10	0b10001	10001	{a, e}

現在來講怎樣反向遍歷 cool-lex。reverse cool-lex 被提到的不多，網上以及各種文獻上也并沒有生成 reverse cool-lex 的代碼，因此我只好自己寫了一個。想要得到高效的 cool-lex 反向遍歷代碼，首先需要一個簡單的生成規則。這個規則其實根據正向 cool-lex 的規則可以很容易地yy出來：找到最短的以100或者101開始的后綴（如果不存在則選定全部位），然后向右旋轉1位。（后來我向 Frank 請教了一下，他說這個規則的確是正確的，另外還告訴我 Aaron 的另一篇文章 “loopless generation of multiset permutations by prefix shifts” 對 reverse cool-lex 作了介紹。）

規則有了，還剩下最后一個問題，那就是怎樣借助于位運算高效的實現這個規則。下面是我的實現：

bool prev(unsigned long &x) const {if (x == first_) return false;unsigned long r, s, v;v = x | 1;r = v & (v + 1);s = r ^ (r - 1);v = s & x;r = (v & 1) ? s - (s >> 1) : 0;x = x & (~s) | r | (v >> 1);return true; }

上面的代碼中，基本上都是非常基礎的位運算技巧，如果你對此并不熟悉，不妨看一下參考文獻1或3。首先，我們需要找到最短的以 100 或者 101 開始的后綴，這將通過下面四條語句來完成：

第一條語句：v = x | 1，將最低位置1。e.g. 0b01010 –> 0b01011

第二條語句：r = v & (v + 1)，清除右邊連續的1。 e.g. 0b01011 –> 0b01000

第三條語句：s = r ^ (r – 1)，標記最低位的1以及其后的0。e.g. 0b01000 –> 0b01111

第四條語句：v = s & x，得到后綴。e.g. 0b01111 & 0b01010 –> 0b01010

至此，滿足條件的后綴已經找出來了，下一步的工作就是將它右旋一位：

第五條語句：r = (v & 1) ? s - (s >> 1) : 0， 得到旋轉后的后綴的最高位。 e.g. 0b01111 - 0b00111 –> 0b01000

第六條語句：x = x & (~s) | r | (v >> 1)，將后綴右移一位，與最高位相或，再與其余不相干的位合并，即得到最終結果。 e.g. 0b00101

在第五條語句用到了三目運算符，這里其實也可以借助 bsr 指令繞過去。我并沒有比較哪種更快一些。

完。（做人要厚道，轉載請注明出處：http://www.cnblogs.com/atyuwen/）

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3 參考文獻

Henry S. W., Hacker’s Delight.

J?rg A., Matters Computational.

Donald E. K., The Art of Computer Programming: Bitwise Tricks and Techniques. Volume 4, Pre-Fascicle 1A.

Donald E. K., The Art of Computer Programming: Generating all Combinations and Partitions. Volume 4, Fascicle 3.

Beeler M., Gosper R. W., and Schroeppel R., HAKMEM

Frank R., Aaron W., The Coolest Way To Generate Combinations.

P.S. 對于我這種從小就怕寫作文的人來說，寫篇稍正式一點的技術文章實在是太辛苦了，因此關于位運算與組合搜索就先寫到這里，雖然有很多想說的還沒有談到。以后有心情了再來討論怎樣高效實現（一）中提到的映射操作及其逆操作。

轉載于:https://www.cnblogs.com/atyuwen/archive/2010/08/05/bit_comb_2.html

《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

以上是生活随笔為你收集整理的位运算与组合搜索（二）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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