本文是對 Computer Systems__A Programmer's Perspective 一書中 Chapter2__2.4 Floating Point一節(jié)的理解

在1985年之前，每個pc制造商都有自己的浮點(diǎn)數(shù)表示和計算方法。那時更讓人關(guān)心的是浮點(diǎn)數(shù)的計算速度和實(shí)現(xiàn)方法而非數(shù)值和計算的精度。在1985年，IEEE標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了統(tǒng)一，提升了程序的可移植性。

生活中常用的是10進(jìn)制表示的數(shù)值，d_md_m-1…d₁d₀.d_-1d_-2…d_-n表示如下：

d₀與d_-1間的小數(shù)點(diǎn)“.”，表示該符號左邊的數(shù)值10的指數(shù)是正數(shù)，右邊的數(shù)值10的指數(shù)是負(fù)數(shù)。

同理，考慮一個2進(jìn)制表示的數(shù)值，b_mb_m-1…b₁b₀.b_-1b_-2…b_-n表示如下：

其中，b_i只能是0或1。同時，小數(shù)點(diǎn)“.”符號左邊的數(shù)值2的指數(shù)是正數(shù)，右邊的數(shù)值2的指數(shù)是負(fù)數(shù)。比如，101.11₂表示1*2^2+ 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2^-1 + 1*2^-2 = 4 + 0 +1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 3/4。

通過2進(jìn)制數(shù)值的表示方式，可知將小數(shù)點(diǎn)符號“.”向左或向右移位，分別表示原有數(shù)值除2或乘2。10.111₂的數(shù)值是2 + 7/8，1011.1₂表示11 + 1/2。

數(shù)值的X進(jìn)制的編碼不可能是無限長的，因此一些數(shù)值受限于編碼長度只能近似表示而不能完全精確。如1/3、5/7的10進(jìn)制在編碼長度一定時，就不能完全精確表達(dá)該數(shù)值；1/5在2進(jìn)制表示下只能通過增加編碼長度無限逼近該值。這就是浮點(diǎn)數(shù)精度產(chǎn)生的原因：在計算機(jī)中，因?yàn)?/span>2進(jìn)制編碼長度的限制，浮點(diǎn)數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后的部分?jǐn)?shù)值因?yàn)椴荒鼙硎径粊G棄。基于這個原因，就可以理解浮點(diǎn)數(shù)比較為什么不和整形數(shù)值之間的比較一樣，直接用“<”、“>”、“==”等運(yùn)算符得到數(shù)值間的大小，而一定要用if (a-b<0.000001)條件來判斷了。

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IEEE標(biāo)準(zhǔn)中的的浮點(diǎn)數(shù)表示形式為V = (-1)^s * M * 2^E，

S—符號位，s為0時，浮點(diǎn)數(shù)大于0；s為1時，浮點(diǎn)數(shù)小于0。當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)為0.0時，s當(dāng)作特殊情況處理，具體請看下面說明

E—指數(shù)位，2的指數(shù)數(shù)值

M—數(shù)值位，小數(shù)的2進(jìn)制數(shù)值，范圍為0—1或1—2

對應(yīng)浮點(diǎn)數(shù)的表示形式，浮點(diǎn)數(shù)的bits分為三部分：

S—符號位，占用1 bit

E—指數(shù)位，占用k bits，exp = e_k-1…e₁e₀

M—數(shù)值位，占用n bits，frac = f_n-1…f₁f₀，M的解譯取決于E是否為0

32 bits的單精度浮點(diǎn)數(shù)（C語言中的float型）中s，k，n分別為1，8，23； 64 bits的雙精度浮點(diǎn)數(shù)（C語言中的double型）中s，k，n分別為1，11，52。

浮點(diǎn)數(shù)的解譯依據(jù)E的不同，分為三種情況：

Normalized values常規(guī)數(shù)值：

E中的bit位不全為0，也不全為1，大部分浮點(diǎn)數(shù)屬于這此類。這種情況下E以biased form（偏差形式）解譯為signed integer。Biased form為：

E = e – Bias

e是exp = e_k-1…e₁e₀的unsigned number；Bias是偏差值，計算方式為Bias = 2^k-1-1（單精度為127，雙精度為1023）。E的范圍是單精度為-126—+127，雙精度為-1022—+1023。

M數(shù)值占用的n bit被解譯為2進(jìn)制的小數(shù)f（0 ?<= ?f ?< 1），即0. f_n-1…f₁f₀。M = 1 + f，可以把M看作為2進(jìn)制的1. f_n-1…f₁f₀。在V = (-1)^s * M * 2^E表示形式中，可以調(diào)整E的大小保證1 <= M < 2，所以2進(jìn)制的1. f_n-1…f₁f₀的1可以去掉，增加小數(shù)部分的值用以提升數(shù)據(jù)精度。

Denormalized values非常規(guī)數(shù)值：

E中的bit為全為0，E以denormalized form（非常規(guī)形式）解讀。Denormalized form為：

E = 1 – Bias，M = f。

非常規(guī)數(shù)值有兩種用途：第一，可以表示0.0。在常規(guī)數(shù)值中，M始終是>=1的，不可能產(chǎn)生0.0。+0.0時，所有的bit值都是0，即符號位s為0，E的bit為0，M=f=0。當(dāng)-0.0時，符號位s為1，其他的bit都是0。在IEEE浮點(diǎn)數(shù)格式中，-0.0與+0.0是否相同取決于應(yīng)用場景。第二，可以表示接近0.0的數(shù)值。

Special Values特殊值：

當(dāng)E中的bits全部為1時，M的bits全部為0時，表示無窮大，s=0時為正無窮+oo；s=1時為-oo。無窮可以表示數(shù)值的溢出，如兩個很大的數(shù)相乘，或者除0；當(dāng)M中的bit不全為0時，表示為NaN(Not a Number)，即不是一個數(shù)。當(dāng)操作的結(jié)果不能作為實(shí)數(shù)或者無窮返回時，就返回NaN，如計算或者oo-oo；NaN在某些應(yīng)用中可以用來表示未初始化的值。

IEEE Floating-Point總結(jié)為下圖

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Taiwantomzhang/p/3618542.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的浮点型数据存储格式详解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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