矩陣可對角化的充要條件：n階矩陣A相似于對角矩陣的充要條件是A有n個無關的特征向量。

?

證明：

必要性：證${P^{ - 1}}AP = D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0&0\\0&{{\lambda _2}}&0&0\\0&0&{...}&0\\0&0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right] \Rightarrow P = [\begin{array}{*{20}{c}}{{X_1}}&{{X_2}}&{...}&{{X_n}}\end{array}]$

\[{P^{ - 1}}AP = D \Rightarrow AP = PD \Rightarrow A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1}}&{{\alpha _2}}&{...}&{{\alpha _n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1}}&{{\alpha _2}}&{...}&{{\alpha _n}}
\end{array}} \right]D \Rightarrow \left[ {A\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1}}&{A{\alpha _2}}&{...}&{A{\alpha _n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}{\alpha _1}}&{{\lambda _2}{\alpha _2}}&{...}&{{\lambda _n}{\alpha _n}}
\end{array}} \right]\]

因為P可逆，則P的各列之間線性無關，并且$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$為特征向量，所以A有n個線性無關的特征向量。

單陣：$A = {A_{n \times n}}$為單陣$\Leftrightarrow A \sim D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0&0\\0&{{\lambda _2}}&0&0\\0&0&{...}&0\\0&0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right]$$\Leftrightarrow {P^{ - 1}}AP = D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0&0\\0&{{\lambda _2}}&0&0\\0&0&{...}&0\\0&0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right]$$\Leftrightarrow P = ({X_1},{X_2},...,{X_n})$，$X_k$均為無關特征向量

?

?

單陣判定定理：

(1)$A=A_{n \times n}$為單陣$?\Leftrightarrow $A有n個無關的特征向量

(2)$A=A_{n \times n}$為單陣$?\Leftrightarrow $A的每個k重根恰有k個無關特征向量

用法：A的任一一個k重根(k>1)，$\lambda \in \lambda (A)$：

(i)若$rank(A-\lambda I)=n-k$，則A為單陣

(ii)若$rank(A-\lambda I)?\ne n-k$，則A不為單陣

(3)若方陣A有n個互異根，則A必為單陣

(4)

(i)設A有k個互異根$ \lambda_1, \lambda _2,...,\lambda _k (k \le n)$，若$(A-\lambda _1)(A-\lambda _2)...(A-\lambda _k) = 0 $，則A為單陣

(ii)設A有k個互異根$ \lambda_1, \lambda _2,...,\lambda _k (k \le n)$，若$(A-\lambda _1)(A-\lambda _2)...(A-\lambda _k) \ne 0 $，則A不為單陣

(5)若$f(x)$無重根，且f(A)=0，則A為單陣

?

單陣譜分解：

A為單陣，則有

\[{P^{ - 1}}AP = D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}&0&0&0\\
0&{{\lambda _2}}&0&0\\
0&0&{...}&0\\
0&0&0&{{\lambda _n}}
\end{array}} \right]\]

令

\[D = {\lambda _1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&{...}&0\\
0&0&0&0
\end{array}} \right] + {\lambda _2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&{...}&0\\
0&0&0&0
\end{array}} \right] + ... + {\lambda _n}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&{...}&0\\
0&0&0&1
\end{array}} \right] = {\lambda _1}{E_1} + {\lambda _2}{E_2} + ... + {\lambda _n}{E_n}\]

由$P^{-1}AP=D \Rightarrow ?A=PDP^{-1}$

?\[A = {P^{ - 1}}DP = {P^{ - 1}}({\lambda _1}{E_1} + {\lambda _2}{E_2} + ... + {\lambda _n}{E_n})P = {\lambda _1}{P^{ - 1}}{E_1}P + {\lambda _2}{P^{ - 1}}{E_2}P + ... + {\lambda _n}{P^{ - 1}}{E_n}P\]

令$F_{i}=PE_{i}P^{-1}$

\[A = {\lambda _1}{F_1} + {\lambda _2}{F_2} + ... + {\lambda _n}{F_n}\]

單陣譜分解公式：

若$A=A_{n \times n}$為單陣，全體不同根為$t_{1},t_{2},...,t_{k}$：

則有：

\[A = {t_1}{G_1} + {t_2}{G_2} + ... + {t_k}{G_k}\]

$G_{i}=\lambda_i P?\sum {E_{k}} ?P^{-1}=t_i \sum{F_k}$

$G_i$的性質：

(1)$G_1+...+G_k=I$

(2)$G_{i}G_{j}=0$

(3)$G_i^{2}=G_{i}$，$G_{1},G_{2},...,G_{k}$稱為“譜陣”

(4)$A^p=t_1^{p}G_{1}+t_2^{p}G_{2}+...+t_k^{p}G_{k}$

(5)任意多項式：$f(x)=c_0+c_1x+...=c_px^p$有：

\[f(A) = f({t_1}){G_1} + f({t_2}){G_2} + ... + f({t_k}){G_k}\]

?

求解$G_i$：

A為單陣：

\[f(x) = (x - {t_1})(x - {t_2})...(x - {t_k}) \Rightarrow f(A) = (A - {t_1})(A - {t_2})...(A - {t_k}) = 0\]

令

\[f(x) = (x - {t_2})...(x - {t_k}) \Rightarrow f(A) = (A - {t_2})...(A - {t_k}) = f({t_1}){G_1} + f({t_2}){G_2} + ... + f({t_k}){G_k}\]

其中$f(t_2)=...=f(t_k)=0$，所以：

\[f(A) = (A - {t_2})...(A - {t_k}) = f({t_1}){G_1} \Rightarrow {G_1} = \frac{{f(A)}}{{f({t_1})}} = \frac{{(A - {t_2})...(A - {t_k})}}{{f({t_1})}}\]

同理可求得$G_2,...,G_k$

?

譜分解的平方根：若$A \ge 0$且有譜公式$A = {\lambda _1}{G_1} + {\lambda _2}{G_2} + ... + {\lambda _k}{G_k}$，則有平方根公式：

\[\sqrt A? = \sqrt {{\lambda _1}} {G_1} + \sqrt {{\lambda _2}} {G_2} + ... + \sqrt {{\lambda _k}} {G_k}\]

?

逆譜公式：若$A為單陣，且全體不同根非0，譜公式$A = {\lambda _1}{G_1} + {\lambda _2}{G_2} + ... + {\lambda _k}{G_k}$，則有逆譜根公式：

\[{A^{ - 1}} = \lambda _1^{ - 1}{G_1} + \lambda _2^{ - 1}{G_2} + ... + \lambda _k^{ - 1}{G_k}\]

?

其他性質：

(1)$AG_i=\lambda_iG_i$

(2)

引理：若$AP=tP$，則P中各列都是t的特征向量

證明：$A=[X_1,X_2,...,X_n]$

\[AP = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{A{X_1}}&{A{X_2}}&{...}&{A{X_n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t{X_1}}&{t{X_2}}&{...}&{t{X_n}}
\end{array}} \right] = tP\]

若$(A-t)P=0$，則P中各列都是t的特征向量

(3)譜公式的全體譜陣的列都是特征向量，分別是$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$的特征向量

(4)A為單陣，譜陣$G_1,G_2,...,G_k$中恰有n個無關的特征向量。

證明：即證明$rank(G_1,G_2,...,G_k)=n$即可

$rank(mn) \le min(rank(m),rank(n))$

$rank(A_{m \times n}) \le min(m,n)$

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{G_1}}&{{G_2}}&{...}&{{G_k}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_1}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_2}}\\
{...}
\end{array}}\\
{{I_k}}
\end{array}} \right] = {G_1} + ... + {G_k} = {I_{n \times n}}\]

\[rank({I_{n \times n}}) = n \le rank(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{G_1}}&{{G_2}}&{...}&{{G_k}}
\end{array}} \right]) \le \min (n,nk) = n \Rightarrow rank(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{G_1}}&{{G_2}}&{...}&{{G_k}}
\end{array}} \right] = n\]

?

遺傳公式：

(1)$f(x)$為任意多項式

\[\lambda (A) = \{ {\lambda _1},{\lambda _2},...,{\lambda _n}\}? \Rightarrow \lambda [f(A)] = \{ f({\lambda _1}),f({\lambda _2}),...,f({\lambda _n})\} \]

(2)若A有n個特征向量$x_1,x_2,...,x_n$，則f(A)也有相同的特征向量$x_1,x_2,...,x_n$，且$f(A)x_1=f(\lambda_1)x_1,f(A)x_1=f(\lambda_1)x_2,...,f(A)x_1=f(\lambda_1)x_n$

?

Cayley-Hamilton定理：$A=A_{n \times n}$，A的特征多項式為$f(\lambda ) = \left| {\lambda I - A} \right|$，必有$f(A)=0$

零化式：根據Cayley-Hamilton定理，矩陣A必然存在函數$f(x)$，使得f(A)=0，稱f(x)為A的零化式，也稱多項式f(x)以A為根。

?

最小零化式(極小式或者最小多項式)：固定$A=A_{n \times n}$，次數最低的首項系數為1的那個多項式$f(A)$稱為A的最小零化式，記作$m_A(x)$。

?

極小式性質：

(1)矩陣A的極小式是唯一的

(2)A的極小式為$m_A(\lambda)$，且$f(A)=0$(即f(x)以A為根)，則$m_A(x)|f(x)$，這里的"|"符號為整除符號。

(3)A的極小式是A的特征多項式的一個因子，也可記為“${m_A}(x)|\left| {\lambda I - A} \right|$”。

(4)A的極小式和A的特征多項式$f(x)$有相同的根。

證明：

　　由(3)得到，$m_A(x)$的根一定是$f(x)$的根。

　　下面證明$f(x)$的根一定是$m_A(x)$的根，也就是證明A的特征根都是$m_A(x)$的根：

　　任意A的特征根$\lambda_i$和$x_i$，根據$\lambda [f(A)] = \{ f({\lambda _1}),...,f({\lambda _n})\} $有

　　${m_A}(A){X_i} = {m_A}({\lambda _i}){X_i}$，因為$m_A(A)=0$則有：

　　${m_A}(A){X_i} = {m_A}({\lambda _i}){X_i} = 0$

　　因為$X_i$不為0，所以${m_A}({\lambda _i})=0$，也就是任意A的根$\lambda_i$為最小式的根，得證。

(5)相似的方陣具有相同的最小多項式。

(6)A為分塊矩陣：

\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_1}}&0\\
0&{{A_2}}
\end{array}} \right]\]

則A的極小式為$A_1$的極小式和$A_2$的極小式的最小公倍數。

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/codeDog123/p/10210875.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的单阵和谱分解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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