本次目標

使用邏輯回歸分類器，實現一個線性二分類器。

問題的分析

data.csv文件形式如下，共80個點，0和1兩類。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pddata = pd.read_csv('data.csv', header=None)
X = np.array(data[[0,1]])
y = np.array(data[2])
plot_points(X,y)
plt.show()

結果：

技術介紹1：邏輯回歸

查閱了很多資料，目前難以從頭到尾的講清楚邏輯回歸的所有內容和前因后果，大概是知道了，但疑問很多，第二輪時再來看這個問題。

1. 機器學習算法之邏輯回歸https://www.biaodianfu.com/logistic-regression.html

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技術介紹2：梯度下降算法

“梯度”概述

梯度（矢量）是微積分中的一個概念：

• 在單變量的函數中，梯度其實就是函數的導數（帶方向），代表著函數在某個給定點的切線的斜率
• 在多變量函數中，梯度是一個向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函數在給定點的上升最快的方向。梯度是偏導數（標量）的矢量和。

看待微分的意義，可以有不同的角度：

1. 函數某點切線的斜率。
2. 函數的變化率。

單變量微分例子：

多變量微分例子：

求多變量梯度的例子：

我們可以看到，梯度就是分別對每個變量進行微分，然后用逗號分割開，梯度是用<>包括起來，說明梯度其實一個向量。

梯度下降法簡述

梯度下降它的主要目的和實現方法是：沿著目標函數梯度的方向更新參數值，通過迭代以期望達到到目標函數的最小值（或最大值）。

在機器學習中，常見的有：隨機梯度下降法和批量梯度下降法。

梯度下降算法的數學表達

下面我們就開始從數學上解釋梯度下降算法的計算過程和思想！

此公式的意義是：J是關于Θ的一個函數，我們當前位置在Θ0點，要從這個點走到J的最小值點，也就是山底。首先我們先確定前進的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距離的步長，也就是α，走完這個段步長，就到達了Θ1這個點！

下面就這個公式的幾個常見的疑問：

• α的含義：
  • 學習率或者步長。α不能太大也不能太小，太小導致遲遲走不到最低點，太大導致無法收斂或錯過最低點！
• 為什么用減法而不是加法？
  • 梯度前加一個負號，就意味著朝著梯度相反的方向前進！我們需要朝著下降最快的方向走，自然就是負的梯度的方向，所以此處需要加上負號。

單變量函數的梯度下降

假設有如下單變量函數，我們利用梯度下降法，試圖找到一個參數θ的最佳值，使得損失函數J(θ)的值最小：

?

函數的微分：

初始化，起點為：

? ?（注意這里0不是次方，而是序號意思。即先設定單變量θ的初始值為2，至于函數值為多少需要去計算。

學習率為：

根據梯度下降的計算公式：

我們開始進行梯度下降的迭代計算過程：

可視化收斂過程如下：

局部放大圖：

從可視化中可看出，梯度下降法在趨近函數最小值(1, -1)點，那個點位的單變量值為1。

首先本案例函數是我自己設計并可視化后選定的，我在動手計算時，發現學習率對梯度下降太敏感了，本來設定的學習率為0.4，但一下就跑到左邊曲線很遠地方去了，0.1也會跑到左邊去，最終發現0.05對于這個函數而言是比較好的學習率。所以說，花點時間親自動手，對算法的理解還是會生動的多。

多變量函數的梯度下降

我們假設有一個損失函數：

現在要通過梯度下降法計算這個函數的最小值。我們通過觀察就能發現最小值其實就是 (0，0)點。但是接下來，我們會從梯度下降算法開始一步步計算到這個最小值！

我們假設初始的起點為：

初始的學習率為：

函數的梯度為：

進行多次迭代：

我們發現，已經基本靠近函數的最小值點：

從上面能看出，多變量的函數梯度下降和單變量沒有本質區別，計算的時候各變量基本是隔離的，有點像矩陣計算。

邏輯回歸+梯度下降法在本項目中應用

1 sigmoid激勵函數

2 輸出公式

3 損失函數

其中 y 是真值標簽值，y^是預測標簽值。

4 更新權值的函數

代碼和輸出

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pddef plot_points(X, y):admitted = X[np.argwhere(y==1)]rejected = X[np.argwhere(y==0)]plt.scatter([s[0][0] for s in rejected], [s[0][1] for s in rejected], s = 25, color = 'blue', edgecolor = 'k')plt.scatter([s[0][0] for s in admitted], [s[0][1] for s in admitted], s = 25, color = 'red', edgecolor = 'k')def display(m, b, color='g--'):plt.xlim(-0.05,1.05)plt.ylim(-0.05,1.05)x = np.arange(-10, 10, 0.1)plt.plot(x, m*x+b, color)# Activation (sigmoid) function
def sigmoid(x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# Output (prediction) formula
def output_formula(features, weights, bias):return sigmoid(np.dot(features, weights) + bias)# Error (log-loss) formula
def error_formula(y, output):return - y*np.log(output) - (1 - y) * np.log(1-output)# Gradient descent step
def update_weights(x, y, weights, bias, learnrate):output = output_formula(x, weights, bias)d_error = y - outputweights += learnrate * d_error * xbias += learnrate * d_errorreturn weights, biasdef train(features, targets, epochs, learnrate, graph_lines=False):# 初始化errors = []n_records, n_features = features.shapelast_loss = Noneweights = np.random.normal(scale=1 / n_features**.5, size=n_features)bias = 0for e in range(epochs):del_w = np.zeros(weights.shape)#開始一個epoch的梯度下降計算for x, y in zip(features, targets): #zip：逐個元素打包成元組。weights, bias = update_weights(x, y, weights, bias, learnrate)# Printing out the log-loss error on the training setout = output_formula(features, weights, bias)loss = np.mean(error_formula(targets, out))errors.append(loss)if e % (epochs / 10) == 0: #無論多少epoch，都只打印10次結果print("\n========== Epoch", e,"==========")if last_loss and last_loss < loss:print("Train loss: ", loss, "  WARNING - Loss Increasing")else:print("Train loss: ", loss)last_loss = loss# e.g. 0.95 --> True (= 1), 0.31 --> False (= 0)predictions = out > 0.5# print(out)# print(targets)accuracy = np.mean(predictions == targets)#相等為1，不相等為0，均值就是精度。print("Accuracy: ", accuracy)if graph_lines and e % (epochs / 100) == 0: #每個epoch繪制一次‘分割線’display(-weights[0]/weights[1], -bias/weights[1])# 繪制預測效果圖plt.title("Solution boundary")display(-weights[0]/weights[1], -bias/weights[1], 'black') # 繪制最終的分割線plot_points(features, targets)# 繪制所有樣本點plt.show()# 繪制loss曲線plt.title("Error Plot")plt.xlabel('Number of epochs')plt.ylabel('Error')plt.plot(errors)plt.show()"""
X：point坐標集
y：標簽集（0或1）
"""
data = pd.read_csv('data.csv', header=None)
X = np.array(data[[0,1]])
y = np.array(data[2])np.random.seed(44)
epochs = 100
learnrate = 0.01
train(X, y, epochs, learnrate, True)

?

========== Epoch 0 ==========
Train loss:  0.7135845195381634
Accuracy:  0.4========== Epoch 10 ==========
Train loss:  0.6225835210454962
Accuracy:  0.59========== Epoch 20 ==========
Train loss:  0.5548744083669508
Accuracy:  0.74========== Epoch 30 ==========
Train loss:  0.501606141872473
Accuracy:  0.84========== Epoch 40 ==========
Train loss:  0.4593334641861401
Accuracy:  0.86========== Epoch 50 ==========
Train loss:  0.42525543433469976
Accuracy:  0.93========== Epoch 60 ==========
Train loss:  0.3973461571671399
Accuracy:  0.93========== Epoch 70 ==========
Train loss:  0.3741469765239074
Accuracy:  0.93========== Epoch 80 ==========
Train loss:  0.35459973368161973
Accuracy:  0.94========== Epoch 90 ==========
Train loss:  0.3379273658879921
Accuracy:  0.94

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總結

學習如何編碼實現梯度下降算法，并且在一個小數據集上應用。

即：使用梯度下降算法，找到一條直線，使之能最大程度的分隔兩類數據點。

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參考：

1. 梯度下降法和反向傳播算法是什么關系？https://www.zhihu.com/question/311616761/answer/608618557
2. ★★深入淺出--梯度下降法及其實現https://www.jianshu.com/p/c7e642877b0e

3. ★多元函數的偏導數、方向導數、梯度以及微分之間的關系思考https://zhuanlan.zhihu.com/p/31942912

4. 邏輯回歸和神經網絡之間有什么關系？https://blog.csdn.net/tz_zs/article/details/79069499

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的优达学城《DeepLearning》1-1：神经网络概论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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