1、數學意義上的梯度

在理解圖像梯度是什么的時候，我們首先要回憶一下以前學習過得梯度是什么？

見鏈接：

https://blog.csdn.net/m0_37957160/article/details/113678344

一句話梯度是一個向量，梯度向量就像一個指路明燈一樣，他永遠指向方向導數變化最大的那個方向，那么我的這個梯度模的大小就等于方向導數最大的那個大小。

在數學上，梯度的本意是一個向量，表示某一函數在該點處的方向導數沿著該方向取得最大值，即函數在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）

2、灰度梯度

百科解讀灰度梯度：

把圖像看成二維離散函數，灰度梯度其實就是這個二維離散函數的求導，用差分代替微分(由于數字圖像是離散的二維圖像，故用差分代替微分)，求取圖像的灰度梯度。常用的一些灰度梯度模板有：Roberts 梯度、Sobel 梯度、Prewitt 梯度、Laplacian 梯度。

3、圖像梯度

圖畫梯度：維基百科關于Image Gradient(圖畫梯度)的

“圖畫梯度是指圖畫強度或色彩的方向改動。圖畫梯度是圖畫處理的根底結構之一。例如，Canny邊際檢測器運用圖畫梯度進行邊際檢測。在用于數字圖畫編輯的圖形軟件中，梯度或色彩梯度一詞也用于表明色彩的逐步混合，能夠以為是從低到高值的均勻漸變，如下圖中從白色到黑色所運用的漸變。數學上，一個雙變量函數(這里是圖畫強度函數)在每個圖畫點處的梯度是一個二維向量，其分量由水平緩筆直方向上的導數給出。在每個圖畫點上，梯度向量指向或許最大強度增加的方向，梯度向量的長度對應于該方向的改動率。”

圖像梯度：百科解讀

微分就是求函數的變化程度(能否用直線增量去代替曲線增量的問題當變化足夠小時)，即導數（梯度）（為什么大角度這樣解釋我覺得不太嚴謹？???），那么對于圖像來說，可不可以用微分來表示圖像灰度的變化率呢，當然是可以的，前面我們提到過，圖像就是函數嘛。(可以使用導數（梯度），衡量圖像灰度的變化率，因為圖像就是函數。正因如此，我們引入的圖像梯度可以把圖像看成二維離散函數，圖像梯度其實就是這個二維離散函數的求導。)

?在微積分中，一維函數的一階微分的基本定義是這樣的：

而圖像是一個二維函數f(x,y)，其微分當然就是偏微分。因此有：

因為圖像是一個離散的二維函數，?不能無限小，我們的圖像是按照像素來離散的，最小的?就是1像素。因此，上面的圖像微分又變成了如下的形式（?=1）：?

這分別是圖像在(x, y)點處x方向和y方向上的梯度，從上面的表達式可以看出來，圖像的梯度相當于2個相鄰像素之間的差值。

----------------------------這就是個人理解的圖像梯度的解讀?

那么，這個梯度（或者說灰度值的變化程度）如何增強圖像的清晰度呢？

我們先考慮下x方向，選取某個像素，假設其像素值是100，沿x方向的相鄰像素分別是90,90,90，則根據上面的計算其x方向梯度分別是10,0,0。這里只取變化率的絕對值，表明變化的大小即可。

我們看到，100和90之間亮度相差10，并不是很明顯，與一大群90的連續灰度值在一起，輪廓必然是模糊的。我們注意到，如果相鄰像素灰度值有變化，那么梯度就有值，如果相鄰像素灰度值沒有變化，那么梯度就為0。如果我們把梯度值與對應的像素相加，那么灰度值沒有變化的，像素值不變，而有梯度值的，灰度值變大了。
?

?新圖像是原圖像與梯度求解后的圖像(叫梯度圖像)相加。

在上邊這幅圖中可以看出，如果一副圖像的相鄰灰度值有變化，那么梯度就存在，如果圖像相鄰的像素沒有變化，那么梯度就是0，把梯度值和相應的像素相加，那么灰度值沒有變化的，像素就沒有變化，灰度值變了，像素值也就變了。我們看到，相加后的新圖像，原圖像像素點100與90亮度只相差10，現在是110與90，亮度相差20了，對比度顯然增強了，尤其是圖像中物體的輪廓和邊緣，與背景大大加強了區別，這就是用梯度來增強圖像的原理。

總結：將圖像函數f(x,y)梯度表達式表示出來：(連續函數的話使用的是導數，下面圖像是離散的，所以使用差分近似代替)

幅度：

方向角：

?對于數字圖像來說，相當于是二維離散函數求梯度，使用差分來近似導數：（差分近似代替上面導數的求解）

?因此，像素點(x,y)處的梯度值和梯度方向分別是：

這里的平方+開方的，計算量太大，于是一般用絕對值來近似平方和平方根的操作，來降低計算量：

在上述的推論中我們得到，梯度的方向是函數變化最快的方向，所以當函數中存在邊緣時，一定有較大的梯度值，相反，當圖像中有比較平滑的部分時，灰度值變化較小，則相應的梯度也較小，圖像處理中把梯度的模簡稱為梯度，由圖像梯度構成的圖像成為梯度圖像。?

一些經典的圖像梯度算法是考慮圖像的每個像素的某個鄰域內的灰度變化，利用邊緣臨近的一階或二階導數變化規律，對原始圖像中像素某個鄰域設置梯度算子，通常我們用小區域模板進行卷積來計算，有Sobel算子、Robinson算子、Laplace算子等。

卷積操作見鏈接：

https://blog.csdn.net/m0_37957160/article/details/118861275?spm=1001.2014.3001.5501

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数字图像处理：（1）图像梯度以及算子应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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