前言：微積分開始就是死刷題，背定義。然后我發現自己遺忘的速度簡直懷疑人生。特別是在學物理以后，發現微積分根本就沒有理解。一上來基礎就沒打好。所以希望能夠慢慢地把數學分析，線性代數，偏微分，實變補起來 。感覺要轉行了似的 。不過我下面的復習還是避開證明，畢竟我并不感興趣。

1、基礎偏導數定義：

,如果f在 點 均可偏導，那么就稱f在 點可偏導。

偏導數的幾何意義：

以

為例，偏導數就是在這一點，平行于x,z面的切線關于x軸的斜率。

方向導數：

,也就是f在點 處的沿著 方向的方向導數。

在導數的定義中，導數存在的充要條件是導函數左右導函數存在并且相等。而在方向導數中，函數在某一點關于x,y偏導數存在的充要條件是沿x(或y)正方向和負方向的偏導數存在，并且互為相反數。

2、多元函數的全微分

對于

, 如果在其中的一個點 滿足存在與 無關，只與 有關而與 無關的的數A，B使得 : , 其中 為其中的線性部分，也叫做f在 點的全微分。并且可以得到其中 。

3、梯度

函數在某一點可微時，那么這一點的任何方向導數均存在，且

,定義梯度 , 那么一定滿足 。

偏導數交換順序：

若偏導

在 點連續

在科學和工程中，認為所有偏導數都是連續的，所以默認不在意偏導的順序

梯度的性質：

4、二階微分：

以此類推

認為dx與x沒有關系，因此

重要的二階微分的表達式：

高階微分公式：

,其中約定 , , , 對于多元函數，以此類推，上式依然成立。

5、向量值函數：

定義域為

, 值域為 , 。 若向量值函數的每個分量 在點 都可偏導，

那么就稱這一矩陣為向量值函數在

點的導數或者Jacobi矩陣，記為 。且滿足： 。

對于速度的解釋：

,

6、多元復合函數的求導法則：

復合函數的求導法則：

,那么 。

復合函數鏈式法則向量表示形式：

多元函數

, 向量值函數： ，

?？梢缘玫?#xff1a;

用符號表示為：

7、一階微分的形式不變性：

對于

, 。一階微分滿足

二階微分

對于d(dz)=

轉化得：

明顯作為中間變量的

是多階不為0的。因此多階全微分不再具有形式不變性。

（值得注意的是，在證明中出現了

,其中 , 但是結果其實是 。

8、映射與函數的定義：

若在集合X中的每一個元素x, 在Y中都按照某種規則f 有唯一的一個元素與之對應，那么有映射

f:

, 在定義域中確定的一個值在值域中對應著唯一確定的一個值，那么這兩者之間的依賴關系就是函數關系。

9、鄰域：在x軸上以a為中心，

為半徑的開區間 叫做點a的 鄰域，記為 。

10、由插值多項式到泰勒公式：

已知函數

在（a,b）內的m+1個互異的點 和若干各階導數 (j=0,1,2…… ), 令 ,如果存在一個n次多項式 滿足 ，那么 就是f(x)關于這些插值節點的n次插值多項式。而 ,叫做插值余項。

滿足上述插值條件的插值多項式存在并且唯一。

插值多項式余項定理：

設

在[a,b]上連續， 在（a,b）上存在，則 ,則上述插值多項式的余項為：

,其中 介于x0……xm，x之間，一般依賴于x。

10.1 拉氏插值多項式：

如果每一點只用滿足數值相等，那么

拉氏 插值多項式就滿足。

10.2Taylor多項式：

帶拉格朗日余項的泰勒公式:

如果函數

在某個鄰域內擁有n+1階導數，則對于該鄰域內的任何一點，都成立：

其中

在x和 之間。

帶Peano余項的泰勒公式:

設f(x)在

點具有n階導數，那么存在 的一個鄰域，使得在這個鄰域中的任何一點都滿足：

其中

成為Peano余項。

11、多元函數的泰勒公式：

設f(x,y)在點

的鄰域 內具有K+1階連續偏導數，那么對于領域內每一點都成立：

其中，

,其中 屬于0到1之間。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的可微偏导数一定存在_数学分析复习——偏导数（1）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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