機器人基礎之雅克比矩陣

• 概述
• 雅克比矩陣的構造
• • 微分運動和廣義速度
  • 微分變換法
• MATLAB實現

概述

雅克比矩陣$J(q)$是從關節空間向操作空間的速度傳遞的線性關系，借助于機械原理中的概念，可以理解為廣義傳動比。
對于$n$個關節的機器人，其雅克比矩陣是$6\times n$階矩陣。其中前3行代表機器人末端坐標系線速度$v$的傳遞比；后3行代表對手爪的角速度$\omega$的傳遞比。另一方面，每一列代表相應的關節速度對末端坐標系線速度和角速度的傳遞比。因此，可將雅克比矩陣分塊，即$$\left[\begin{array}{c}v\\ \omega \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{J}_{l1}& J_{l2}& ???& J_{ln}\\ J_{a1}& J_{a2}& ???& J_{an}\end{array}\right]?\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ {\dot{q}}_1\\ {\dot{q}}_2\\ ?\\ ?\\ ?\\ {\dot{q}}_n\end{array}?\text{\hspace{1em}(1)}$$

雅克比矩陣的構造

微分運動和廣義速度

剛體或坐標系的微分運動包含微分移動矢量$d$和微分轉動矢量$\delta$。前者由沿三個坐標軸的微分移動組成，后者由繞三坐標軸的微分轉動組成。將兩者合并為6維列矢量$D$，稱為剛體或坐標系的微分運動矢量。$$D=\left[\begin{array}{c}d\\ \delta \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$ 相應地，剛體或坐標系的廣義速度$V$是由線速度$v$和角速度$\omega$組成的6維列矢量。即$$V=\dot{D}=\left[\begin{array}{c}\dot{d}\\ \dot{\delta }\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$ 微分運動矢量D和廣義速度V也是相對于某坐標系而言的，在不同坐標系中表達式不同。若坐標系{T}相對于基坐標系的齊次變換矩陣為 $$T=?\begin{array}{cccc}{n}_x& o_x& a_x& p_x\\ n_y& o_y& a_y& p_y\\ n_z& o_z& a_z& p_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}?=\left[\begin{array}{cccc}n& o& a& p\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$ 則坐標系{T}中的微分運動${}^{T}D$和基坐標系中的微分運動$D$之間的關系為： $${}^{T}D=?\begin{array}{cccccc}{n}_x& n_y& a_x& (p\times n{)}_x& (p\times n{)}_y& (p\times n{)}_z\\ o_x& o_y& o_z& (p\times o{)}_x& (p\times o{)}_y& (p\times o{)}_z\\ a_x& a_y& a_z& (p\times a{)}_x& (p\times a{)}_y& (p\times a{)}_z\\ 0& 0& 0& n_x& n_y& a_x\\ 0& 0& 0& o_x& o_y& o_z\\ 0& 0& 0& a_x& a_y& a_z\end{array}?D\text{\hspace{1em}(5)}$$ 上式簡寫為 $${}^{T}D=\left[\begin{array}{cc}{R}^T& ?R^{T}S(p)\\ 0& R^T\end{array}\right]D\text{\hspace{1em}(6)}$$ 其中 $$R=?\begin{array}{ccc}{n}_x& o_x& a_x\\ n_y& o_y& a_y\\ n_z& o_z& a_z\end{array}?\text{\hspace{1em}(7)}$$ 反對稱矩陣$S(p)$定義為$$S(p)=?\begin{array}{ccc}0& ?p_z& p_y\\ p_z& 0& p_x\\ ?p_y& p_x& 0\end{array}?\text{\hspace{1em}(8)}$$ 類似的，任意兩坐標系{A}和{B}之間微分運動的坐標變換為$${}^{B}D=\left[\begin{array}{cc}{}^B{R}^T& ?{}_A^B{R}^{T}S({}^B{p}_{BO})\\ 0& {}_A^B{R}^T\end{array}\right]{}^{A}D\text{\hspace{1em}(9)}$$

微分變換法

下面采用構造性的方法，不需要求導而直接構造出$J_{li}$和$J_{ai}$。
以六自由度機械臂為例。

首先計算出各連桿變換矩陣${}_1^{0}T$、${}_2^{1}T$、${}_3^{2}T$、${}_4^{3}T$、${}_5^{4}T$、${}_6^{5}T$。

然后利用公式$${}_{i?1}^{i}T=\left[\begin{array}{cc}{}_i^{i?1}{R}^T& {}_i^{i?1}{R}^T{}^{i?1}{P}_{BO}\\ 0& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(n)}$$計算得${}_0^{1}T$、${}_1^{2}T$、${}_2^{3}T$、${}_3^{4}T$、${}_4^{5}T$、${}_5^{6}T$。

依次計算末端坐標系在各連桿坐標系中的變化矩陣${}_0^{6}T$、${}_1^{6}T$、${}_2^{6}T$、${}_3^{6}T$、${}_4^{6}T$、${}_5^{6}T$。

利用公式9計算微分運動變化矩陣。

若關節$i$為直線運動，則取微分運動變化矩陣的第三列作為雅克比矩陣的第$i$列；
若關節$i$為旋轉運動，則取微分運動變化矩陣的第六列作為雅克比矩陣的第$i$列；
對于六自由度機械臂而言，顯然取微分運動變化矩陣的第六列作為雅克比矩陣的第$i$列。

至此，構造出機器人的雅克比矩陣。

MATLAB實現

function J = calJacobi(DH_parameter) % 計算雅克比矩陣 % DH_parameter：DH參數表；[dim_row, dim_col] = size(DH_parameter); J = zeros(6, dim_row);for i = 1 : dim_rowT = calT(DH_parameter, i - 1, dim_row);R = T(1:3, 1:3);P = T(1:3, 4);DiffM = [R', -R' * antiSymMatrix(P); zeros(3, 3), R'];J(:, i) = DiffM(:, 6); end

總結

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