Dijkstra 最短路算法
上周我們介紹了神奇的只有五行的 Floyd 最短路算法，它可以方便的求得任意兩點的最短路徑，這稱為“多源最短路”。本周來來介紹指定一個點（源點）到其余各個頂點的最短路徑，也叫做“單源最短路徑”。例如求下圖中的 1 號頂點到 2、3、4、5、6 號頂點的最短路徑。

與 Floyd-Warshall 算法一樣這里仍然使用二維數(shù)組 e 來存儲頂點之間邊的關(guān)系，初始值如下。

我們還需要用一個一維數(shù)組 dis 來存儲 1 號頂點到其余各個頂點的初始路程，如下。

我們將此時 dis 數(shù)組中的值稱為最短路的“估計值”。

既然是求 1 號頂點到其余各個頂點的最短路程，那就先找一個離 1 號頂點最近的頂點。通過數(shù)組 dis 可知當(dāng)前離 1 號頂點最近是 2 號頂點。當(dāng)選擇了 2 號頂點后，dis[2]的值就已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”，即 1 號頂點到 2 號頂點的最短路程就是當(dāng)前 dis[2]值。為什么呢？你想啊，目前離 1 號頂點最近的是 2 號頂點，并且這個圖所有的邊都是正數(shù)，那么肯定不可能通過第三個頂點中轉(zhuǎn)，使得 1 號頂點到 2 號頂點的路程進(jìn)一步縮短了。因為 1 號頂點到其它頂點的路程肯定沒有 1 號到 2 號頂點短，對吧 O(∩_∩)O~

既然選了 2 號頂點，接下來再來看 2 號頂點有哪些出邊呢。有 2->3 和 2->4 這兩條邊。先討論通過 2->3 這條邊能否讓 1 號頂點到 3 號頂點的路程變短。也就是說現(xiàn)在來比較 dis[3]和 dis[2]+e[2][3]的大小。其中 dis[3]表示 1 號頂點到 3 號頂點的路程。dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 號頂點到 2 號頂點的路程，e[2][3]表示 2->3 這條邊。所以 dis[2]+e[2][3]就表示從 1 號頂點先到 2 號頂點，再通過 2->3 這條邊，到達(dá) 3 號頂點的路程。

我們發(fā)現(xiàn) dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新為 10。這個過程有個專業(yè)術(shù)語叫做“松弛”。即 1 號頂點到 3 號頂點的路程即 dis[3]，通過 2->3 這條邊松弛成功。這便是 Dijkstra 算法的主要思想：通過“邊”來松弛 1 號頂點到其余各個頂點的路程。

同理通過 2->4（e[2][4]），可以將 dis[4]的值從 ∞ 松弛為 4（dis[4]初始為 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新為 4）。

剛才我們對 2 號頂點所有的出邊進(jìn)行了松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

接下來，繼續(xù)在剩下的 3、4、5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點。通過上面更新過 dis 數(shù)組，當(dāng)前離 1 號頂點最近是 4 號頂點。此時，dis[4]的值已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。下面繼續(xù)對 4 號頂點的所有出邊（4->3，4->5 和 4->6）用剛才的方法進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

繼續(xù)在剩下的 3、5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點，這次選擇 3 號頂點。此時，dis[3]的值已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。對 3 號頂點的所有出邊（3->5）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

繼續(xù)在剩下的 5 和 6 號頂點中，選出離 1 號頂點最近的頂點，這次選擇 5 號頂點。此時，dis[5]的值已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。對5號頂點的所有出邊（5->4）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后 dis 數(shù)組為：

最后對 6 號頂點所有點出邊進(jìn)行松弛。因為這個例子中 6 號頂點沒有出邊，因此不用處理。到此，dis 數(shù)組中所有的值都已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。

最終 dis 數(shù)組如下，這便是 1 號頂點到其余各個頂點的最短路徑。

OK，現(xiàn)在來總結(jié)一下剛才的算法。算法的基本思想是：每次找到離源點（上面例子的源點就是 1 號頂點）最近的一個頂點，然后以該頂點為中心進(jìn)行擴(kuò)展，最終得到源點到其余所有點的最短路徑。基本步驟如下：

將所有的頂點分為兩部分：已知最短路程的頂點集合 P 和未知最短路徑的頂點集合 Q。最開始，已知最短路徑的頂點集合 P 中只有源點一個頂點。我們這里用一個 book[ i ]數(shù)組來記錄哪些點在集合 P 中。例如對于某個頂點 i，如果 book[ i ]為 1 則表示這個頂點在集合 P 中，如果 book[ i ]為 0 則表示這個頂點在集合 Q 中。
設(shè)置源點 s 到自己的最短路徑為 0 即 dis=0。若存在源點有能直接到達(dá)的頂點 i，則把 dis[ i ]設(shè)為 e[s][ i ]。同時把所有其它（源點不能直接到達(dá)的）頂點的最短路徑為設(shè)為 ∞。
在集合 Q 的所有頂點中選擇一個離源點 s 最近的頂點 u（即 dis[u]最小）加入到集合 P。并考察所有以點 u 為起點的邊，對每一條邊進(jìn)行松弛操作。例如存在一條從 u 到 v 的邊，那么可以通過將邊 u->v 添加到尾部來拓展一條從 s 到 v 的路徑，這條路徑的長度是 dis[u]+e[u][v]。如果這個值比目前已知的 dis[v]的值要小，我們可以用新值來替代當(dāng)前 dis[v]中的值。
重復(fù)第 3 步，如果集合 Q 為空，算法結(jié)束。最終 dis 數(shù)組中的值就是源點到所有頂點的最短路徑。
完整的 Dijkstra 算法代碼如下：

#include <stdio.h>
int main()
{int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;int inf=99999999; //用inf(infinity的縮寫)存儲一個我們認(rèn)為的正無窮值//讀入n和m，n表示頂點個數(shù)，m表示邊的條數(shù)scanf("%d %d",&n,&m);//初始化for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(i==j) e[i][j]=0;else e[i][j]=inf;//讀入邊f(xié)or(i=1;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);e[t1][t2]=t3;}//初始化dis數(shù)組，這里是1號頂點到其余各個頂點的初始路程for(i=1;i<=n;i++)dis[i]=e[1][i];//book數(shù)組初始化for(i=1;i<=n;i++)book[i]=0;book[1]=1;//Dijkstra算法核心語句for(i=1;i<=n-1;i++){//找到離1號頂點最近的頂點min=inf;for(j=1;j<=n;j++){if(book[j]==0 && dis[j]<min){min=dis[j];u=j;}}book[u]=1;for(v=1;v<=n;v++){if(e[u][v]<inf){if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])dis[v]=dis[u]+e[u][v];}}}//輸出最終的結(jié)果for(i=1;i<=n;i++)printf("%d ",dis[i]);getchar();getchar();return 0;
}

可以輸入以下數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證。第一行兩個整數(shù) n m。n 表示頂點個數(shù)（頂點編號為 1~n），m 表示邊的條數(shù)。接下來 m 行表示，每行有 3 個數(shù) x y z。表示頂點 x 到頂點 y 邊的權(quán)值為 z。

6 9
1 2 1
1 3 12
2 3 9
2 4 3
3 5 5
4 3 4
4 5 13
4 6 15
5 6 4

運行結(jié)果是

0 1 8 4 13 17

通過上面的代碼我們可以看出，這個算法的時間復(fù)雜度是 O(N2)。其中每次找到離 1 號頂點最近的頂點的時間復(fù)雜度是 O(N)，這里我們可以用“堆”（以后再說）來優(yōu)化，使得這一部分的時間復(fù)雜度降低到 O(logN)。另外對于邊數(shù) M 少于 N2 的稀疏圖來說（我們把 M 遠(yuǎn)小于 N2 的圖稱為稀疏圖，而 M 相對較大的圖稱為稠密圖），我們可以用鄰接表（這是個神馬東西？不要著急，下周再仔細(xì)講解）來代替鄰接矩陣，使得整個時間復(fù)雜度優(yōu)化到 O( (M+N)logN )。請注意！在最壞的情況下 M 就是 N2，這樣的話 MlogN 要比 N2 還要大。但是大多數(shù)情況下并不會有那么多邊，因此(M+N)logN 要比 N2 小很多。

【啊哈！算法】系列 7：Dijkstra 最短路算法
http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1387799

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的迪克斯特拉算法（Dijkstra 最短路算法）（简单易懂）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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