圖像處理作業4

1. 第二版課本習題4.21

本質沒有區別，只將圖片放置在中心，而周圍填充0的個數不變時，不會影響結果。因為本質都是進行了周期延拓，使得尾部的信息不會被丟棄掉。相當于濾波前將圖像進行了平移。需要注意的是，濾波后得到的圖像也會發生平移，裁剪的時候會產生區別。

2. 假設我們有一個[0，1]上的均勻分布隨機數發生器U(0,1), 請基于它構造指數分布的隨機數發生器，推導出隨機數生成方程。若我們有一個標準正態分布的隨機數發生器N(0,1)，請推導出對數正態分布的隨機數生成方程。

(1) 解答

設指數分布的隨機變量為$Y$，概率密度PDF表示為：$f(y)=\lambda e^{?\lambda y};y>0,\lambda >0,其CDF表示為G(y)$。
設均勻分隨機變量為$X$。并且隨機數生成方程$Y=g(X)$。

根據CDF的定義有：

$G(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}=P\{X\le g^{?1}(y)\}=g^{?1}(y)$

由此可知：$g(y)=G^{?1}(y)$，即$g(X)=G^{?1}(X)$

指數分布CDF為$G(y)={\int }_0^y\lambda e^{?\lambda x}dx=1?e^{?\lambda y}$

$G^{?1}(X)=?\frac{1}{\lambda }ln(1?X)$

因此 $Y=G^{?1}(X)=?\frac{1}{\lambda }ln(1?X);X$服從均勻分布。

(2) 解答

設標準正態分布的隨機變量為$X$，對數正態分布的隨機變量為$Y$，即是求$Y=g(X)$。

設標準正態分布的概率密度函數$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?x^2/2}$

設對數分布的概率密度是$h(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{?(lny?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

$G(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}=P\{X\le g^{?1}(y)\}=F(g^{?1}(y))$

${\int }_{?oo}^y\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{?(lnt?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt={\int }_{?oo}^{g^{?1}(y)}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?t^2/2}dt$

求導可得

$e^{\frac{?(lny?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}=\sigma e^{?{g^{?1}(y)}^2/2}?g^{?1^{\prime }}(y)$

繼而

$g(y)=e^{\sigma y+\mu }$

$g(X)=e^{\sigma X+\mu }$,$X$服從均勻分布

3. 請證明第二版課本習題4.5中提及的頻域內高通濾波器與低通濾波器的關系式子。

由于原圖像$f(x,y)$由兩部分構成，即高頻部分和低頻部分。
那么$f(x,y)=f_h(x,y)+f_l(x,y)$
可以認為高頻部分是由高頻濾波器對原圖像進行濾波得到：
$f_h(x,y)=f(x,y)?H_{hp}(x,y)$
$f_l(x,y)=f(x,y)?H_{lp}(x,y)$
$f(x,y)=f_h(x,y)+f_l(x,y)=f(x,y)?H_{hp}(x,y)+f(x,y)?H_{lp}(x,y)$
進行傅立葉變換
$F(u,v)=F(u,v)H_{hp}(u,v)+F(u,v)H_{lp}(u,v)=F(u,v)(H_{hp}(u,v)+H_{lp}(u,v))$
可知
$H_{hp}(u,v)=1?H_{lp}(u,v)$

4.給出的逆諧波濾波回答下列問題

（a）解釋為什么當Q是正值時濾波對去除“胡椒”噪聲有效？

$Q>0$時對像素具有增強作用。而對于胡椒噪聲來說，其灰度值較小，所以增強較小，所以對加權平均的結果影響較少。

（b）解釋為什么當Q是負值時濾波對去除“鹽”噪聲有效？

$Q<0$時對像素具有削弱作用。而對于胡椒噪聲來說，其灰度值較大，所以削弱較大，所以對加權平均的結果影響較少。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理作业4的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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