對于 \(T(n) = a\times T(\frac{n}{b})+c\times n^k\) 這樣的遞歸關系，有這樣的結論：

• \(a>b^k\) 則有 ： \(T(n) = O(c\times n^{\log_{b} a})\)
• \(a=b^k\) 則有 ： \(T(n) = O(c\times n^k\times log n)\)
• \(a<b^k\) 則有 ： \(T(n) = O(n^k)\)

例如：

\[T(n)=25\times T\left(\dfrac{n}{5}\right)+n^2 \]\[a=25,b = 5,k=2\Rightarrow a=b^k \]\[T(n)=O(n^k\times \log n)=O(n^2\times \log n) \]

當 \(a,b,c\) 中出現根號怎么辦？換元！！

例如：

\[T(n)=4\sqrt{n}\times T(\sqrt{n})+n \]\[\text{令} n=2^m \]\[T(2^m)=4\times 2^{\frac{m}{2}}\times T(2^{\frac{m}{2}})+2^m \]\[\dfrac{T(2^m)}{2^m}=4\times \dfrac{T(2^{\frac{m}{2}})}{2^{\frac{m}{2}}}+1 \]\[\text{令} g(m)=\dfrac{T(2^m)}{2^m} \]\[g(m)=4\times g\left(\dfrac{m}{2}\right)+1 \]\[g(m)=m^2 \]\[T(2^m)=2^mm^2 \]\[T(n)=n\log^2 n \]

總結

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