正題

題面鏈接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/62/problem/3

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題目大意

$n$個(gè)點(diǎn)的一棵樹(shù)，每個(gè)邊的邊會(huì)表示一個(gè)大小關(guān)系（如$p_x>p_y$或$p_x<p_y$）。求有多少個(gè)排列滿足所有條件。

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解題思路

考慮樹(shù)形$dp$，設(shè)$f_{i,j}$表示點(diǎn)$i$的子樹(shù)中有$j$個(gè)比他小的數(shù)字時(shí)的方案數(shù)。

那么如果有條件$p_y<p_x$考慮如何轉(zhuǎn)移，我們枚舉一下$i,j$表示之前比$i$小的數(shù)的個(gè)數(shù)和$y$里面比$x$小的個(gè)數(shù)，然后再枚舉一個(gè)$k$表示$y$里面比$y$小的數(shù)的個(gè)數(shù)。
然后用組合數(shù)插板表示方案，發(fā)現(xiàn)這樣是$O(n^3)$的，發(fā)現(xiàn)$k$可以前/后綴和優(yōu)化，所以可以縮掉，時(shí)間復(fù)雜度為$O(n^2)$

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$code$

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const ll N=5100,XJQ=998244353; struct node{ll to,next,w; }a[N*2]; ll n,tot,ls[N],c[N][N],f[N][N],g[N],siz[N],ans; ll C(ll n,ll m){return c[n+1][m+1];} void addl(ll x,ll y,ll w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;return; } void dfs(ll x,ll fa){f[x][0]=1;siz[x]=1;for(ll p=ls[x];p;p=a[p].next){ll y=a[p].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);for(ll i=0;i<=siz[x]+siz[y];i++)g[i]=0;if(a[p].w){for(ll i=0;i<siz[x];i++){ll tmp=0;for(ll j=siz[y]-1;j>=0;j--){ll px=i,py=j;tmp=(tmp+f[y][j])%XJQ;ll sx=siz[x]-i-1,sy=siz[y]-j-1;(g[siz[x]+siz[y]-sx-sy-2]+=f[x][i]*tmp%XJQ*C(sx+sy+1,sx)%XJQ*C(px+py,py)%XJQ)%=XJQ;}}}else{for(ll i=0;i<siz[x];i++){ll tmp=0;for(ll j=0;j<siz[y];j++){ll px=i,py=j;tmp=(tmp+f[y][j])%XJQ;ll sx=siz[x]-i-1,sy=siz[y]-j-1;(g[px+py+1]+=f[x][i]*tmp%XJQ*C(px+py+1,px)%XJQ*C(sx+sy,sy)%XJQ)%=XJQ;}}}siz[x]+=siz[y];for(ll i=0;i<=siz[x];i++)f[x][i]=g[i];}return; } int main() {freopen("perm.in","r",stdin);freopen("perm.out","w",stdout);scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y,0);addl(y,x,1);}c[0][0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=1;j<N;j++)c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%XJQ;dfs(1,1);for(ll i=0;i<siz[1];i++)(ans+=f[1][i])%=XJQ;printf("%lld\n",ans); } 創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

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