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编程问答

[AtCoder Regular Contest 125] A-F全题解

發布時間：2023/12/3 编程问答 27 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 [AtCoder Regular Contest 125] A-F全题解小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

A - Dial Up
B - Squares
C - LIS to Original Sequence
D - Unique Subsequence
E - Snack
F - Tree Degree Subset Sum

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A - Dial Up

簽到題

特判一下有沒有0/1在目標串中出現而沒在原串出現

除了第一次0/1數字互換時，需要從 $a_1$ 左右找距離最近的不同數字

后面互換就是左/右轉一次

#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; #define maxn 200005 int n, m; bool s0, s1, t0, t1; int s[maxn], t[maxn];int main() {scanf( "%d %d", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf( "%d", &s[i] );if( s[i] ) s1 = 1;else s0 = 1;}for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {scanf( "%d", &t[i] );if( t[i] ) t1 = 1;else t0 = 1;}if( ( t1 and ! s1 ) or ( t0 and ! s0 ) )return ! printf( "-1\n" );int l = 0, r = 0;for( int i = n;i;i -- )if( s[i] == s[1] ) l ++;else { l ++; break; }for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( s[i] == s[1] ) r ++;else break;int c = min( l, r ), now = s[1], ans = 0;bool flag = 0;for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {if( now ^ t[i] ) {if( flag ) now ^= 1, ans ++;else now ^= 1, ans += c;flag = 1;}ans ++;}printf( "%d\n", ans );return 0; }

B - Squares

簡單題

$x2?y=z2(x,y∈[1,n])x^2-y=z^2\quad \Big(x,y\in[1,n]\Big)$

$(x + z) (x ? z) = y$

observation : x+z x-z 同奇偶，且x+z $>$ x-z

則有 $x?z∈[1,n]x-z\in[1,\sqrt{n}]$

考慮枚舉 $i = x ? z$ ，計算出 $x + z$ 的范圍 $[1,?ni?]\big[1,\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\big]$

然后計算在范圍內與 $i$ 同奇偶的個數

時間復雜度 $O(n)O(\sqrt n)$

#include <cstdio> #include <iostream> using namespace std; #define int long long #define mod 998244353 int n, ans;signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i * i <= n;i ++ ) {int l = i, r = n / i;if( ( i & 1 ) ^ ( l ^ 1 ) ) l ++;if( ( i & 1 ) ^ ( r ^ 1 ) ) r ++;if( l <= r ) ans = ( ans + ( r - l ) / 2 + 1 ) % mod;}printf( "%lld\n", ans );return 0; }

C - LIS to Original Sequence

簡單構造題

observation1 : $a_1$ 一定填在序列第一位

如果 $a_1=1$ ，填序列第一位是肯定的
如果 $a_1>1$ ，假設不填第一個，那么需要一個小于 $a_1$ 的數填在前面，才會是最佳字典序

但填在 $a_1$ 前面，就會和 $a_1,...,a_k$ 構成更長的最長上升子序列，不滿足條件，假設不成立

observation2 : 如果 $a_1≠1$ ，則 $a_2$ 一定填 $1$ 是最優的

第一位都已經固定了，為了使答案字典序最小，肯定先放 $1$ ，構成 $1,a_2,...,a_k$ 的相同長度 $LIS\rm LIS$

observation3 : 除去 $a_1$ 和 $1$ ，出現了新的子問題，構造一個長度為 $n ? 2$ 的序列， $LIS\rm LIS$ 為 $a_2,...,a_k$

所以可以一位一位的遞歸構造，實際上遍歷一遍即可構造

#include <cstdio> #define maxn 200005 int a[maxn]; bool vis[maxn]; int n, k;int main() {scanf( "%d %d", &n, &k );for( int i = 1;i <= k;i ++ ) scanf( "%d", &a[i] );for( int i = 1, j = 1;i < k;i ++ ) {printf( "%d ", a[i] );vis[a[i]] = 1;while( j < a[i] and vis[j] ) j ++;if( ! vis[j] ) printf( "%d ", j ), vis[j] = 1;}for( int i = n;i;i -- )if( ! vis[i] ) printf( "%d ", i );return 0; }

D - Unique Subsequence

$D P$ 簡單題

observation : x......x****，x****后面以 $x$ 開頭的任意子序列都不會成為答案

所以可以設計 $dp_i:$ 從后往前到i時以 $i$ 開始的答案， $lst_{A_i}:$ $A_i$ 上一次的位置

$dpi=∑j=i+1lstAidpjdp_i=\sum_{j=i+1}^{lst_{A_i}}dp_j$ 并且 $dp_{lst_{A_i}}$ 要清零

最后答案就是 $∑idplsti\sum_i dp_{lst_i}$

區間求和，單點修改可以用樹狀數組維護

#include <cstdio> #define mod 998244353 #define int long long #define maxn 200005 int n; int f[maxn], t[maxn], lst[maxn], A[maxn];int lowbit( int i ) { return i & -i; }void add( int i, int val ) {for( ;i <= n;i += lowbit( i ) ) t[i] = ( t[i] + val + mod ) % mod; }int query( int i ) {int ans = 0;for( ;i;i -= lowbit( i ) ) ans = ( ans + t[i] ) % mod;return ans; }signed main() {scanf( "%lld", &n );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &A[i] );for( int i = n;i;i -- ) {if( ! lst[A[i]] ) f[i] = ( query( n ) + 1 ) % mod;else f[i] = query( lst[A[i]] );if( lst[A[i]] ) add( lst[A[i]], -f[lst[A[i]]] );add( i, f[i] );lst[A[i]] = i; }int ans = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ ) ans = ( ans + f[lst[i]] ) % mod;printf( "%lld\n", ans );return 0; }

E - Snack

困難題

一眼網絡流

超級源點 $S$ ，超級匯點 $T$ ，蛇 $Li,i∈[1,n]L_i,i\in[1,n]$ ，人 $Rj,j∈[1,m]R_j,j\in[1,m]$
$?i,i∈[1,n]S→Li\forall_{i,i\in[1,n]} S\rightarrow L_i$ ，流量 $A_i$
$?i,i∈[1,n];j,j∈[1,m]Li→Rj\forall_{i,i\in[1,n];j,j\in[1,m]}L_i\rightarrow R_j$ ，流量 $B_j$
$?j,j∈[1,m]Rj→T\forall_{j,j\in[1,m]}R_j\rightarrow T$ ，流量 $C_j$

求圖的最大流即可

但是 $n, m$ 級別根本不能支持網絡流的算法

需要找一種可以不真的跑網絡流的算法求最大流

轉換一下，最大流等于最小割

將蛇 $L_i$ 分成 $X, Y$ 兩個部分， $X$ 與超級源點在一個集合， $Y$ 與超級匯點在一個集合

則每個人 $R_j$ 就可以獨立決定自己是在 $S$ 集合還是 $T$ 集合

在 $S$ 集合，就要斷掉和 $T$ 的邊，花費 $C_j$
在 $T$ 集合，就要斷掉和 $X$ 集合的所有邊，花費集合大小的 $X|·B_j$
選擇兩者中的較小值

重要的是 $X$ 的劃分，因此先決定 $X$ 的劃分

按 $A_i$ 的降序從 $L_i$ 中選擇用作 $X$ 的定點

嘗試所有的 $X$ ，從 $0 ? N$

#include <cstdio> #include <vector> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define int long long #define maxn 200005 vector < int > G[maxn]; int n, m, sumB, sumC; int A[maxn], B[maxn], C[maxn], sumA[maxn];signed main() {scanf( "%lld %lld", &n, &m );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) scanf( "%lld", &A[i] );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) scanf( "%lld", &B[i] );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) scanf( "%lld", &C[i] );sort( A + 1, A + n + 1 );for( int i = 1;i <= m;i ++ ) sumB += B[i];for( int i = 1;i <= n;i ++ ) sumA[i] = sumA[i - 1] + A[i];for( int i = 1;i <= m;i ++ ) G[min( n, C[i] / B[i] )].push_back( i );int ans = 1e18;for( int i = 0;i <= n;i ++ ) {ans = min( ans, sumA[n - i] + i * sumB + sumC );for( auto j : G[i] ) sumB -= B[j], sumC += C[j];}printf( "%lld\n", ans );return 0; }

F - Tree Degree Subset Sum

困難題

令 $d_i$ 表示 $i$ 點的度數 $? 1$ ，則度數范圍為 $[0, n ? 2]$

定義 $f_i$ : 度數和為 $i$ 時最小選取頂點的集合個數， $g_i$ : 度數和為 $i$ 時最大選取頂點的集合個數

引理： $?fi≤y≤gi\forall_{f_i\le y\le g_i}$ ，一定都有一種頂點選取方式滿足度數和為 $y$

假設這個引理是正確的

利用與abc-215 colorful candies 2的同樣的思想

不同度數的個數最多有 $n\sqrt n$

設計 $D P$ 轉移出 $f_i$ ， $g$ 可以由 $f$ 推出

$f_i=\min\{f_{i-sumd}+cnt\}$

可以用 $log\rm log$ 倍增一段相同度數個數

最后 $g_i$ 就相當于總個數減去度數和為 $s ? i$ 的最小選取頂點的集合個數 $f_{s-i}$

#include <cstdio> #include <vector> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define maxn 200005 #define int long long struct node { int sumd, cnt;node(){}node( int Sumd, int Cnt ) {sumd = Sumd, cnt = Cnt;} }; vector < node > g; int n; int d[maxn], f[maxn];signed main() {scanf( "%lld", &n );memset( d, -1, sizeof( d ) );for( int i = 1, u, v;i < n;i ++ ) {scanf( "%lld %lld", &u, &v );d[u] ++, d[v] ++;}sort( d + 1, d + n + 1 );for( int i = 1, j = 1;i <= n;i = j ) {while( j <= n and d[i] == d[j] ) j ++;int cnt = j - i;for( int k = 1;k <= cnt;k <<= 1 ) {g.push_back( node( d[i] * k, k ) );cnt -= k;}if( cnt ) g.push_back( node( d[i] * cnt, cnt ) );}memset( f, 0x3f, sizeof( f ) );f[0] = 0; int sum = 0;for( auto now : g ) {sum += now.sumd;for( int i = sum;i >= now.sumd;i -- )f[i] = min( f[i], f[i - now.sumd] + now.cnt );}int ans = 0;for( int i = 0;i <= sum;i ++ )ans += max( ( n - f[sum - i] ) - f[i] + 1, 0ll );printf( "%lld\n", ans );return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[AtCoder Regular Contest 125] A-F全题解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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