AGC005D - ~K Perm Counting

Solution

經典數排列個數題，寫了個大麻煩容斥。

直接容斥，考慮求出$f_i$表示有$i$個位置$|p_i?i|=k$的方案數。一個位置$i$滿足$|p_i?i|=k$，要么$p_i=i+k$，要么$p_i=i?k$，當前面的位置選擇了$p_i=i+k$時，后面的$p_{i+2k}$就不能選擇$i+k$了，前面可能對后面產生影響。

因此我們發現對于下標$modk$不同的位置之間一定沒有影響，于是我們對$modk$余數分類，拉出$n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$條長為$?\frac{n}{k}?+1$的鏈和$k?n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$條長為$?\frac{n}{k}?$的鏈，此時$|p_i?i|=k$等價于選擇了該點在鏈上的相鄰點，把這些鏈的$f$值用背包合并起來就是我們要求的$f$。

于是我們要對每一種$j$，算出一條鏈上選取$j$個的方案數。令$g_{i,j,k}$表示前$i$點，選取$j$個相鄰點，$i?1,i,i+1$的選取狀態為$k$的方案數。

最后的答案要算上沒選的點的任意選取的排列個數，即：
$$Ans=\sum _{i=0}^n(?1{)}^i{f}_i(n?i)!$$

時間復雜度$O(n^2)$，據說也有$O(nlgn)$的更麻煩做法。

Code

#include <vector> #include <list> #include <map> #include <set> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <bitset> #include <algorithm> #include <functional> #include <numeric> #include <utility> #include <sstream> #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdio> #include <cmath> #include <cstdlib> #include <cctype> #include <string> #include <cstring> #include <ctime> #include <cassert> #include <string.h> //#include <unordered_set> //#include <unordered_map> //#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B) #define PB(A) push_back(A) #define SIZE(A) ((int)A.size()) #define LEN(A) ((int)A.length()) #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) #define fi first #define se secondusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; } template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef long double lod; typedef pair<int,int> PR; typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11; const lod pi=acos(-1); const int oo=1<<30; const ll loo=1ll<<62; const int mods=924844033; const int MAXN=2005; const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567 /*--------------------------------------------------------------------*/ inline int read() {int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f; } int num=0,h[MAXN],g[MAXN][MAXN][8],f[MAXN],fac[MAXN],tmp[MAXN]; int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; } void Merge(int q) {for (int j=0;j<=q;j++) {h[j]=0;for (int t=0;t<4;t++) h[j]=upd(h[j],g[q][j][t]);}num+=q;for (int j=0;j<=num;j++) tmp[j]=0;for (int j=num;j>=0;j--)for (int k=0;k<=q;k++) if (j>=k) tmp[j]=upd(tmp[j],1ll*f[j-k]*h[k]%mods);for (int j=0;j<=num;j++) f[j]=tmp[j]; } signed main() {int n=read(),p=read(),q=n/p+1;fac[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mods;g[1][0][0]=g[1][1][4]=1;for (int i=1;i<q;i++)for (int j=0;j<=i;j++){for (int k=0;k<8;k++) g[i+1][j][k>>1]=upd(g[i+1][j][k>>1],g[i][j][k]);for (int k=0;k<8;k++){if (!((k>>1)&1)) g[i+1][j+1][(k>>1)|1]=upd(g[i+1][j+1][(k>>1)|1],g[i][j][k]);if (!((k>>1)&4)) g[i+1][j+1][(k>>1)|4]=upd(g[i+1][j+1][(k>>1)|4],g[i][j][k]);}}f[0]=1;int r=n%p; for (int i=1;i<=r;i++) Merge(q);for (int i=1;i<=p-r;i++) Merge(q-1);int ans=0;for (int i=0;i<=n;i++) if (i&1) ans=upd(ans,mods-1ll*f[i]*fac[n-i]%mods);else ans=upd(ans,1ll*f[i]*fac[n-i]%mods);printf("%d\n",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的AGC005D - ~K Perm Counting(组合数学，背包，dp)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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