題意：隨機分治中心點分治的期望操作次數

$n\le 3\times 10^4$

即求點分樹的 siz 之和的期望

即祖孫關系對數期望

考慮一有序點對 $(u,v)$，$u$ 在點分樹上是 $v$ 祖先當且僅當 $u$ 是 $u～v$ 路徑上第一個被選為分治中心的，并且選擇路徑外的點是不影響的,所以概率為 $\frac{1}{\mathrm{dist}(u,v)+1}$

由期望線性性，答案為

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{1}{\mathrm{dist}(i,j)+1}$$

相當于是求距離為 $0～n?1$ 的點對數量，考慮點分治

計算當前答案時發現是個卷積形式，使用 NTT 優化

算出整個連通塊的答案，然后容斥掉在同一個子樹中的

因為深度是不會超過大小的，所以復雜度為 $O(n{\log }^{2}n)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <vector> #define MAXN 65536 using namespace std; const int MOD=998244353; inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;} inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;} typedef long long ll; inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;}return ans; } #define inv(x) qpow(x,MOD-2) int rt[2][24]; int l,lim,r[MAXN]; inline void init(){lim=1<<l;for (int i=0;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));} inline void NTT(int* a,int type) {for (int i=0;i<lim;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);for (int L=0;L<l;L++){int mid=1<<L,len=mid<<1;ll Wn=rt[type][L+1];for (int s=0;s<lim;s+=len)for (int k=0,w=1;k<mid;k++,w=w*Wn%MOD){int x=a[s+k],y=(ll)w*a[s+mid+k]%MOD;a[s+k]=add(x,y),a[s+mid+k]=dec(x,y);}}if (type){int t=inv(lim);for (int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*t%MOD;} } inline double calc(int* a,int n) {double ans=0;for (l=0;(1<<l)<=(n<<1);++l);init(),NTT(a,0);for (int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*a[i]%MOD;NTT(a,1);for (int i=0;i<lim;i++){ans+=(double)a[i]/(i+1);a[i]=0;}return ans; } vector<int> e[MAXN]; double ans; bool vis[MAXN]; int siz[MAXN],maxp[MAXN]={0x7fffffff},Rt; int a[MAXN]; void findrt(int u,int f,int sum) {siz[u]=1,maxp[u]=0;for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)if (e[u][i]!=f&&!vis[e[u][i]]){findrt(e[u][i],u,sum);siz[u]+=siz[e[u][i]];maxp[u]=max(maxp[u],siz[e[u][i]]);}maxp[u]=max(maxp[u],sum-siz[u]);if (maxp[u]<maxp[Rt]) Rt=u; } int dfs(int u,int f,int dep) {siz[u]=1,++a[dep];int mx=dep;for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)if (e[u][i]!=f&&!vis[e[u][i]]){mx=max(mx,dfs(e[u][i],u,dep+1));siz[u]+=siz[e[u][i]];}return mx; } inline void calc() {ans+=calc(a,dfs(Rt,0,0));for (int i=0;i<(int)e[Rt].size();i++)if (!vis[e[Rt][i]])ans-=calc(a,dfs(e[Rt][i],0,1)); } void solve() {int u=Rt;vis[u]=1;calc();for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)if (!vis[e[u][i]]){int v=e[u][i];Rt=0,findrt(v,0,siz[v]);solve();} } int main() {rt[0][23]=qpow(3,119),rt[1][23]=inv(rt[0][23]);for (int i=22;i>=0;i--){rt[0][i]=(ll)rt[0][i+1]*rt[0][i+1]%MOD;rt[1][i]=(ll)rt[1][i+1]*rt[1][i+1]%MOD;}int n;scanf("%d",&n);for (int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);++u,++v;e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);}findrt(1,0,n);solve();printf("%.4f\n",ans);return 0; } 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

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