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编程问答

RMQ算法讲解

發布時間：2023/12/4 编程问答 27 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 RMQ算法讲解小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

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哇！這題簡單啊，一個for循環，遍歷數組記錄最大值輸出即可啊。

那好，現在我告訴你假設N為50000，給你Q次詢問（(1 ≤ Q ≤ 200,000)）,如果這種情況，我們還每次都進行暴力遍歷求解的話，那么無論你提交幾萬次都會得到如下結果:

是的，這種暴力遍歷求解雖然思維簡單，代碼簡短，但是很慢啊。

那該怎么做呢？以前我也不會啊，自從學了RMQ，誒，真好用，我們全家都用它！

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即區間最值查詢。RMQ算法一般用較長時間做預處理，時間復雜度為O(nlogn)，然后可以在O（1）的時間內處理每次查詢。

下面我們從一個實際問題來解釋RMQ

我們假設數組arr為：1，2，6，8，4，3，7

我們設二維數組dp[i][j]表示從第i位開始連續個數中的最小值。例如dp[2][1]就表示從第二位數開始連續兩個數的最小值（也就是從第二位數到第三位數的最小值），即2，6中的最小值，所以dp[2][1] = 2;

其實我們求 dp[i][j] 的時候可以把它分成兩部分，第一部分是從到，第二部分從到，為什么可以這么分呢？其實我們都知道二進制數前一個數是后一個的兩倍，那么可以把到這個區間通過分成相等的兩部分，?那么轉移方程很容易就寫出來了。（dp[i][0]就表示第i個數字本身）

dp[i][j] = min(dp [i][j - 1], dp [i + (1 << j - 1)][j - 1])

由此給出下列代碼：

void rmq_init()

{

for(int i=1;i<=N;i++)

dp[i][0]=arr[i];//初始化

for(int j=1;(1<<j)<=N;j++)

for(int i=1;i+(1<<j)-1<=N;i++)

dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]);

}

這里需要注意一個循環變量的順序，我們看到外層循環變量為j，內層循環變量為i，這是為什么呢？可以互換一下位置嗎？

答案當然是不可以，我們要理解這個狀態轉移方程的意義，這個狀態方程的含義是：先更新每兩個元素中的最小值，然后通過每兩個元素的最小值獲得每4個元素中的最小值，依次類推更新所有長度的最小值。

而如果是i在外，j在內的話，我們更新的順序就變成了從1開始的前1個元素，前2個元素，前4個元素，前8個元素。。。

當j等于3的時候dp[1][3] = min(min(ans[0],ans[1],ans[2],ans[3]),min(ans[4],ans[5],ans[6],ans[7])))的值，

但是我們根本沒有計算min(ans[0],ans[1],ans[2],ans[3])和min(ans[4],ans[5],ans[6],ans[7])，所以這樣的方法肯定是錯誤的。

為了避免這樣的錯誤，一定要好好理解這個狀態轉移方程所代表的含義。

接下來我們來講解RMQ的查詢部分，假設我們需要查詢區間[l ，r]中的最小值，令k = ，則區間[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);

但是為什么這樣就可以保證是區間最小值了呢？

dp[l][k]維護的是區間 [l, l + 2^k - 1] , dp[r - (1 << k) + 1][k]維護的是區間 [r - 2^k + 1, r] 。

那么只要我們保證? ≤ 就能保證RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k])；

接下來我們用分析法來證明這個不等式：

我們假設 ? ≤ 這個等式成立

即有 r - l + 2 ≤ 也就是 r - l + 2 ≤

又因為 k = ;

那么 r - l + 2 ≤ 2 * (r - l +1)

則 r - l + 2 ≤ 2*(r - l) + 2

即 r - l ≤ 2*(r-l)

所以 r - l ≥ 0，即假設成立

我們舉個例子， l = 4，r = 6;

假設數組arr為：1，2，6，8，4，3，7

此時 k = = = 1

則區間[4,6]的最小值 = min（dp[4][1],dp[5][1]）

dp[4][1] = 4，dp[5][1] = 3，所以區間[4,6]的最小值 = min(dp[4][1],dp[5][1]) = 3

我們很容易看出來答案是正確的。

由此給出查詢部分代碼：

int rmq(int l,int r)

{

int k=log2(r-l+1);

return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);

}

好了，至此RMQ全部介紹完畢。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的RMQ算法讲解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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