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爆炸吧知識

1827 年，英國植物學家布朗（Brown）用顯微鏡觀察懸浮在液體中的花粉微粒時，發現花粉微粒總是在做無規則運動。后來人們發現，這是一種廣泛存在于自然界、工程技術和社會經濟等領域中的隨機現象，如空氣污染擴散、陀螺隨機游走和股票價格波動等，因此這類隨機運動現象被稱為“布朗運動”。

1905年，愛因斯坦首先使用概率方法對一維布朗運動進行了定量研究，并從熱分子運動擴散方程推導出了大量布朗粒子在任意時刻的位置服從正態分布的性質。

1908年，法國物理學家朗之萬（Langevin）依據牛頓運動定律，建立了單個布朗粒子的動力學方程，并對大量布朗粒子的位移求平均，得出了與愛因斯坦布朗運動理論相同的統計規律，但是并未給出揭示單個布朗粒子運動規律的運動學方程。

1923年，維納（Wiener）將單個布朗粒子的位移假設為隨機變量，建立了描述單個布朗粒子位移與時間之間數量關系的運動學數學模型，得出了布朗粒子運動路徑的一系列數學性質，從而為現代隨機過程理論的建立奠定了概念、方法和理論基礎，因此布朗運動在《隨機過程》教科書中也被稱為“維納過程”。

一維布朗運動物理現象及統計規律

假設一個布朗粒子從x軸的原點出發，則布朗粒子在t時刻的位移x(t)是時間t的函數，x(t)的函數圖像（質點位移軌跡）見圖1（b）。

圖1一維布朗粒子位移曲線

圖2（a）和圖2（b）分別為MEMS微機械陀螺的隨機游走誤差曲線和特斯拉（Tesla）股票價格收盤價曲線，均與圖1（b）所示的布朗粒子位移曲線相似。

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圖2陀螺隨機游走與股票價格曲線

美國愛達荷大學的哈蒙（Harmon）教授在《Phylogenetic ComparativeMethods》一書中描述了同時觀察100個布朗粒子位移的仿真實驗結果。哈蒙教授分別做了時間周期為10s、50s和100s時的三個實驗，得到圖3中A、B、C所示的三組實驗結果曲線。

圖3布朗粒子位移曲線（100個）

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哈蒙教授對100個布朗粒子在t=10s、50s和100s時的位置進行了統計分析，對應的頻率直方圖分別列于實驗結果的右邊。

從頻率直方圖可以看出，直方圖輪廓與正態分布的鐘形曲線相似，呈現中間高，兩端逐漸下降且完全對稱的狀態。

愛因斯坦在1905年根據擴散方程推導出了大量布朗粒子在t時刻空間位置的概率分布函數

式中D為擴散系數。

顯然，所有布朗粒子在t時刻的位置服從數學期望為零、方差為2Dt的正態分布。圖4給出了t=0.1秒、0.2秒、0.5秒和2秒時的正態分布曲線。

圖4 布朗運動正態分布曲線

維納過程數學性質

維納將圖1所示的單個布朗粒子作為研究對象，并假設布朗粒子在t時刻的位移X(t)為隨機變量，得出了布朗粒子位移X(t)的兩個重要性質：

（1）布朗粒子位移X(t)服從（0，σ2t）正態分布；

（2）布朗粒子路徑處處不可導（瞬時速度無窮大或不存在）。

維納過程反常問題

1、正態分布性質與經驗事實不符

如果布朗粒子在t時刻的位移X(t)服從正態分布，則圖1（b）所示的布朗粒子位移曲線應具有如下正態分布的兩個特點：

（1）對稱性。在每一時刻t，絕對值相等的正、負位移出現的次數大致相等。

（2）集中性。布朗粒子在0點附近出現的次數最多。

但是從圖1（b）所示的布朗粒子位移曲線可以看出，布朗粒子隨時間遠離原點，其位移曲線x(t)既不符合正態分布的對稱性，也不符合正態分布的集中性。

事實上，服從（0，σ2t）正態分布的質點位移曲線如圖5所示，是均值為零、方差與時間成正比的高斯噪聲。高斯噪聲與圖1（b）所示的布朗粒子位移曲線有天壤之別，因此，實際的布朗粒子位移X(t)不服從正態分布。

圖5 服從正態分布的質點位移曲線

維納顯然誤解了愛因斯坦“布朗運動服從正態分布”的結論，愛因斯坦布朗運動理論描述的是大量布朗粒子在t時刻的位置服從正態分布（圖2），而不是指一個布朗粒子的位移服從正態分布。

維納將單個布朗粒子的位移假設為隨機變量，因而只能用刻畫大量布朗粒子集體行為的正態分布，來描述單個布朗粒子的個體行為，從而得出了與事實完全不符的錯誤結論。

2、處處不可導性質與物理學理論和實驗不符

根據愛因斯坦“同一個布朗粒子在不同時間間隔中的運動相互獨立”假設，可知單個布朗粒子的瞬時速度v(t)在不同時刻互不相關，因此單個布朗粒子瞬時速度v(t)的自相關函數可表示為

Rv(τ)=N0δ(τ)

式中τ為時間間隔，N0為正實常數，δ(τ)為單位沖擊函數。

根據維納-辛欽定理，平穩隨機過程的功率譜密度是其自相關函數的傅立葉變換，可得單個布朗粒子瞬時速度v(t)的功率譜密度

Sv(f)=N0

即v(t)的功率譜密度在整個頻率軸上均勻分布，表明v(t)為平均功率為N0的白噪聲。

2010年，美國得克薩斯大學的李統藏成功地用激光光鑷技術首次實驗測量到了懸浮布朗粒子的瞬時速度（圖6），實驗結果證明了布朗粒子的瞬時速度波形為白噪聲，表明布朗運動的導數（瞬時速度）不僅存在，而且可觀測。

圖6布朗粒子瞬時速度測量實驗及結果

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李統藏的研究論文“Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle”在《科學（Science）》雜志上發表后，在全球引起了極大的轟動。《科學》雜志專門為李統藏的論文配發了錄音采訪，《自然》雜志也迅速報道了該實驗。

李統藏的布朗粒子瞬時速度測量實驗被《科學》雜志推薦為大學及高中教學內容，美國明尼蘇達大學等學校的相關課程已經將該實驗作為教學內容。

維納過程對數理金融學的影響

維納將單個布朗粒子位移抽象為隨機變量的研究方法及結論，給數理金融學及華爾街金融市場帶來了災難性的影響。

股票價格（對數）隨時間的變化過程與一個布朗粒子的運動過程在數學形式上完全相同，因此數理金融學也將股票價格假設為隨機變量，并根據“布朗粒子位移X(t)服從（0，σ2t）正態分布”的性質，認為股票價格也服從正態分布，并用未來T時刻正態分布的標準差來描述未來T時刻的股票價格波動程度，因此建立的股票價格模型必然與事實不符，無法正確描述并預測股票價格的波動趨勢。

數理金融學基于維納過程建立的股票價格模型和BS期權定價公式在大規模應用于金融市場時，竟成為直接導致 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危機的罪魁禍首。麥肯齊（Mackenzie）在《無言的宇宙（隱藏在24個數學公式背后的故事）》書中總結到：1987、1998和2007年三次重大金融危機的一般共性是股票價格布朗運動模型未能預期市場波動。

被譽為“中國金融數學開創者”、獲得2020未來科學大獎“數學與計算機科學獎”的彭實戈院士，在《中國基礎研究發展報告》第二章中國數學前沿進展中也明確指出：BS 期權定價理論是造成以前歷次重大金融危機的關鍵性原因。

暢銷書《黑天鵝》作者塔勒布（Taleb）在《金融時報》上發表了題為“破壞市場的偽科學”專欄文章，對數理金融學進行了嚴厲的批判。塔勒布在文章中指出：人們從一次又一次的金融危機中得出了“數理金融學的有效性與占星術一樣不靠譜”和“數理金融學通過創造風險來危害金融系統”的結論。塔勒布痛斥數理金融學是破壞市場的偽科學，數理金融學理論獲得諾貝爾獎不僅是對科學的侮辱，數理金融學一直使金融體系面臨崩潰的風險。

結論

“與實際結合，問題驅動”是隨機過程等應用數學學科發展的不竭動力和重要特征。隨機過程布朗運動理論出現上述反常現象，表示現有《隨機過程》教科書內容與經驗事實不符，無法用來描述并解決實際問題，意味著《隨機過程》教科書內容將面臨重大范式變革，新的布朗運動概念、方法及理論將會推翻并替代現有教科書內容，從而把人類對布朗運動的認識提高到一個嶄新的水平。

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作者簡介

高宏，畢業于清華大學精密儀器系，分別獲工學學士、碩士和博士學位，留校任教從事測試信號分析與處理的教學與科研工作，現任紫光股份有限公司CTO，北京市科協委員。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的《随机过程》布朗运动理论中的两个反常问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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