牛頓迭代法收斂性的一點討論

今天在使用牛頓迭代法求方程的數值解時，發現其一會兒收斂，一會兒不收斂，于是認證研究了下牛頓迭代法的收斂條件。
牛頓迭代法的收斂性分為局部收斂性與全局收斂性。
**局部收斂性：**若α是f(x)=0的一個單根, f(α)=0,f’(α)≠0,?’(α)=0, ?’’(α)=f’’(α)/f’(α), 則在根α附近Newton
法是局部收斂的, 并且是二階收斂的。這個附近指的是充分接近。要多接近呢？似乎沒有進一步的證明。
這就決定了牛頓迭代法的初值選取非常重要，只有在解的附近選初值才具有局部收斂性。可是證明去找解的附近呢？一種方法是先用二分法找一個大概的解，再用牛頓法求解。
然而，對于某些函數，初值離解很遠也能收斂，這就要談到全局收斂性了。
全局收斂性：
設f(x)在有根區間[a, b]上二階導數存在，且滿足
(1) f(a)f(b)<0;
(2) f’(x)≠0, x∈[a, b];
(3) f’’(x)不變號, x∈[a, b];
(4)初值x0 ∈[a, b]且使f’’(x0) *f(x0)>0;
則Newton迭代法收斂于f(x)=0在[a, b]內的惟一根。
其中，條件（2）和（3）要求函數在區間內為凸或凹函數，條件（4）又規定了初值接近解的方向，算是比較苛刻的條件。以f(x)=lnx為例，若選擇初值x0為4，則第一次迭代后的值x1為-1.505，超過了定義域，就不收斂了。

可如果初值選擇0.5，則是收斂的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的牛顿迭代法收敛性的一点讨论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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