PID算法的收敛性
首先給出PID控制系統(tǒng)框圖
對于離散PID算法，其中控制量
uk=Kpek+Ki∑j=0k?1ej+Kd(ek?ek?1)(1)u_k=K_pe_k+K_i\sum_{j=0}^{k-1}e_j+K_d(e_k-e_{k-1}) \tag {1} uk?=Kp?ek?+Ki?j=0∑k?1?ej?+Kd?(ek??ek?1?)(1)
對于PID算法，系統(tǒng)輸出往往是控制量u的積分，數(shù)學(xué)表示為
yk=∑j=0k?1(uj?c)(2)y_k=\sum_{j=0}^{k-1}(u_j-c) \tag {2} yk?=j=0∑k?1?(uj??c)(2)
對于PI控制器（Kd=0K_d=0Kd?=0），其階躍響應(yīng)有誤差
ek=rk?yk=1?∑j=0k?1(uj?c)=1?∑j=0k?1(Kpej+Ki∑i=0j?1ei?c)(3)\begin{array}{l} e_k=\ r_k-y_k\\ =\ 1-\sum_{j=0}^{k-1}(u_j-c)\\ =\ 1-\sum_{j=0}^{k-1}(K_pe_j+K_i\sum_{i=0}^{j-1}e_i-c) \end{array} \tag {3} ek?=?rk??yk?=?1?∑j=0k?1?(uj??c)=?1?∑j=0k?1?(Kp?ej?+Ki?∑i=0j?1?ei??c)?(3)
誤差e的k替換為k-1，相減整理得
ek+(Kp?1)ek?1+Ki∑j=0k?2ej=c(4)e_k+(K_p-1)e_{k-1}+K_i\sum_{j=0}^{k-2}e_j=c \tag {4} ek?+(Kp??1)ek?1?+Ki?j=0∑k?2?ej?=c(4)
再次以k-1替換k，相減整理
ek+(Kp?2)ek?1+(1?Kp+Ki)ek?2=0(5)e_k+(K_p-2)e_{k-1}+(1-K_p+K_i)e_{k-2}=0 \tag {5} ek?+(Kp??2)ek?1?+(1?Kp?+Ki?)ek?2?=0(5)
該齊次微分方程的兩個(gè)特征值分別為
α=?（Kp?2）+(Kp?2)2?4(1?Kp+Ki)2(6)\alpha=\frac{-（K_p-2）+\sqrt{(K_p-2)^2-4(1-K_p+K_i)}}{2} \tag {6} α=2?（Kp??2）+(Kp??2)2?4(1?Kp?+Ki?)??(6)
β=?（Kp?2）?(Kp?2)2?4(1?Kp+Ki)2(7)\beta=\frac{-（K_p-2）-\sqrt{(K_p-2)^2-4(1-K_p+K_i)}}{2} \tag {7} β=2?（Kp??2）?(Kp??2)2?4(1?Kp?+Ki?)??(7)
要使PI控制器收斂，就要使兩個(gè)特征根的模小于1，計(jì)算可知，PI算法的收斂域?yàn)?br /> {Ki<KpKi>2Kp?4Ki,Kp>0(8)\left\{ \begin{array}{l} K_i<K_p\\ K_i>2K_p-4\\ K_i,K_p>0 \end{array} \right. \tag {8} ????Ki?<Kp?Ki?>2Kp??4Ki?,Kp?>0?(8)
以下是不同 KpK_pKp? 、KiK_iKi? 參數(shù)下的PI控制器的收斂情況
總結(jié)
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