流形，是局部具有歐幾里得空間性質的空間。是歐幾里得空間中的曲線、曲面等概念的推廣。歐幾里得空間就是最簡單的流形的實例。

地球表面這種球面則是一個略微復雜的樣例。

一般的流形能夠通過把很多平直的片折彎并粘連而成。

流形在數學中用于描寫敘述幾何形體，它們為研究形體的可微性提供了一個自然的平臺。物理上。經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。位形空間中也能夠定義流形。環面就是雙擺的位形空間。

一般能夠把幾何形體的拓撲結構看作是全然“柔軟”的，由于全部變形（同胚）會保持拓撲結構不變。而把解析幾何結構看作是“硬”的，由于總體的結構都是固定的。比如一個多項式，假設你知道 區間的取值。則整個實數范圍的值都是固定的。所以局部的變動會導致全局的變化。光滑流形能夠看作是介于兩者之間的模型：其無窮小的結構是“硬”的。而總體結構則是“柔軟”的。這或許是中文譯名“流形”的原因（總體的形態能夠流動）。該譯名由著名數學家和數學教育學家江澤涵引入。這樣，流形的硬度使它能夠容納微分結構，而它的軟度使得它能夠作為非常多須要獨立的局部擾動的數學和物理的模型。

流形能夠視為近看起來象歐幾里得空間或其它相對簡單的空間的物體^[1]:1。

比如，人們以前以為地球是平的。這是由于相對于地球來說人類實在太小，尋常看到的地面是地球表面微小的一部分。

所以。雖然知道地球實際上差點兒相同是一個圓球。假設僅僅須要考慮當中微小的一部分上發生的事情，比方測量操場跑道的長度或進行房地產交易時，仍然把地面看成一個平面。

一個理想的數學上的球面在足夠小的區域上的特性就像一個平面，這表明它是一個流形^[2]:283。可是球面和平面的總體結構是全然不同的：假設在球面上沿一個固定方向走，終于會回到起點。而在一個平面上，你能夠一直走下去。

回到地球的樣例。像旅行的時候，會用平面的地圖來指示方位。假設將整個地球的各個地區的地圖合訂成一本地圖集。那么在觀看各個地區的地圖后，就能夠在腦海中“拼接”出整個地球的景貌。為了能讓閱讀者順利從一張地圖接到下一張，相鄰的地圖之間會有重疊的部分，以便在腦海里“粘合”兩張圖。

類似地。在數學中。也能夠用一系列“地圖”（稱為坐標圖或坐標卡）組成的“地圖集”（atlas, 亦稱為圖冊）來描寫敘述一個流形^[2]:283。而“地圖”之間重疊的部分在不同的地圖里怎樣變換。則描寫敘述了不同“地圖”的相互關系。

描寫敘述一個流形往往須要不止一個“地圖”，由于一般來說流形并非真正的歐幾里得空間。

舉例來說，地球就沒法用一張平面的地圖來合適地描繪。

流形要求局部“看起來像”簡單的空間，這不是一個簡單的要求。比如。在球上吊一根線。這個總體就不是一個流形。包括了線和球連接的那一點的附近區域一定不是簡單的：既不是線也不是面。不管這個區域有多小。

流形有非常多種。最簡單的是拓撲流形。它們局部看來像歐幾里得空間。其它的種類包括了它們在使用中所須要的額外的結構。比如。一個微分流形不僅支持拓撲，并且要支持微積分。

黎曼流形的思想導致了廣義相對論的數學基礎。使得人們可以用曲率來描寫敘述時空。

引例：圓圈[編輯]

四張圖分別把圓的一部分映射到一個開區間，它們合在一起覆蓋了整個圓。

圓是除歐幾里得空間外的拓撲流形的一個簡單樣例。

考慮一個半徑為1，圓心在原點的圓。若和是圓上的點的坐標，則有。

局部看來，圓像一條線。而線是一維的。換句話說，僅僅要一個坐標就能夠在局部描寫敘述一個圓。比如。圓的上半部。坐標大于零的部分（右圖中黃色的部分），不論什么一點都能夠用坐標確定。

投影映射：

把上半圓映射到開區間。反過來，給定一個。就是上半圓的一點：

這種一個映射就是一個坐標圖。它的作用，就是告訴讀者“地圖”上的一點相應著實際中的哪一點。和它的逆映射都是連續函數甚至是光滑函數。這種映射也叫做一個（微分）同胚^[1]:4。

類似的，也能夠為圓的下半部（紅），左半部（藍）。右半部（綠）建立坐標圖。這四個部分合起來覆蓋了整個圓。這四個坐標圖就組成了該圓的一個圖冊。

注意圓上部和右部的重疊部分。也就是位于圓上和坐標大于0的四分之中的一個圓弧。兩個坐標圖和都將這部分雙射到區間。

這樣就有一個從到它自己的雙射：首先取上面一點（黃色線段右半部分的點）黃色坐標圖的逆映射到達圓上的相應點。再通過綠色坐標圖映射到上:

映射稱為坐標變換映射，它告訴讀者一張”地圖“上的點是怎樣相應到還有一張“地圖”上的相應的點，說明了兩張地圖之間的關系^[1]:5。

還有一個圖冊[編輯]

圓圈流形基于斜率的坐標圖集。每一個圖覆蓋除了一點之外的全部點。

上，下，左，右四個坐標圖表明圓是一個流形。但它們不是唯一能夠描寫敘述圓形的圖冊。坐標圖除了能夠是幾何投影，也能夠是別的映射，而坐標圖的數量也能夠不是四個。僅僅要能夠覆蓋整個圓即可了。

考慮下面兩個坐標圖

和

這里是過點和固定點之直線的斜率。

比方右圖中，點和確定的直線（右圖黃色直線）斜率是；點和確定的直線（右圖紅色直線）的斜率則是。

能夠把圓上面除了點以外的點一一映射到實數軸上。則是關于軸的鏡像對稱（也就是左右對稱）。固定點是。的逆映射為

非常easy確認對于全部斜率值成立。

這兩個坐標圖提供了圓圈的又一個圖集，其變換函數為

注意每一個坐標圖都缺了一點，對于是點，對于是點。所以每一個坐標圖不能獨自覆蓋整個圓圈。利用拓撲學的工具能夠證明。沒有單個的坐標圖能夠覆蓋整個圓圈；在這個簡單的樣例里，已經能夠看到流形擁有多個坐標圖的靈活性^[1]:4。

從代數曲線來的四個流形: ■ 圓圈, ■ 拋物線, ■ 雙曲線, ■ 三次曲線.

流形不必連通（整個僅僅有一片）;這樣，一對分離的圓圈能夠是一個流形。它們不必是閉的。所以不帶兩個端點的線段也是流形。它們也不必有限。這樣拋物線也是一個流形。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的流形的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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