提示：本文的適用對象為已修過《微積分A1》的非數學系學生，文中題型方法為個人總結，為個人復習使用。部分理解雖然不太嚴謹，但對于解題的實用性較強。若有疏漏or錯誤，歡迎批評指正。

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摘要

本文主要介紹的內容有：

1、重積分的概念與本質

2、重積分的幾何意義與運算方法

3、利用重積分的性質解題（題型匯總）

！！！重點匯總重積分計算的相關題型，并為每一種題型提供例題與明晰的解題思路

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一、重積分是什么？

1、重積分的概念

? 我們都知道，一元函數定積分的概念構建，本質上是”帶點分割——取模計算黎曼和極限——驗證黎曼和極限與取點的任意性無關“，重積分的概念也可由類似思路推得，我們以二重積分為例，主要解決以下幾個問題：

1、在上如何進行分割？

2、如何取模最理想？

3、如何驗證黎曼和極限與分割時取點的任意性無關？

在不規則的區域內，這些問題很難找到答案，因此，我們將積分區域首先限制在平面上的一個矩形域中，在這個矩形域中，可以將其分割成呈網格狀的一個又一個小矩形，隨后取所有矩形對角線長度的最大值作為分割的模，然后即可求出黎曼和的極限。若此黎曼和式的極限存在，且該極限值與分割的任意性、取點的任意性無關，則稱此函數在這個矩形域內可積。下面我們就來探究一下，什么樣的二元函數在該矩形域內可積？

? 我們略過與達布上和等的有關推導，可得以下兩個結論：

1、若二元函數在矩形域內連續，則其一定可積

2、若二元函數在矩形域上的間斷點構成的集合是零面積集，則可積（在通常情況下，可理解為“有限個間斷點”）

得到了二元函數在矩形域下的可積條件，我們再將其推廣到任意區域中時，我們可以寫出

因此我們可得出：

1、若二元函數連續，則其一定可積

2、若二元函數的間斷點構成的集合是零面積集，且D的邊界也是零面積集，則可積

因此，對于重積分的概念與本質，實質上就是對無限多分割的求和與累積。

二、重積分的性質

1.幾何意義

• 對于二重積分而言，是以D區域為底，的值為高求得的立方體的體積，若，則表示D區域的面積，被稱為面積元，表示無窮小的一塊面積。

• 對于三重積分而言，是以D區域為體積，?的值為密度求得的立方體的質量，?若，則表示D區域的面積，被稱為體積元，表示無窮小的一塊體積。

2.運算方法

• 對于二重積分的基本運算方法，我們都已耳熟能詳，不過就是累次積分法和變量代換法兩種，或是二者的結合，對于使用這兩種解法的初級題目，我給出以下解題步驟：

1、觀察積分區域與被積函數形式，確定是否變量代換。若積分區域為圓形等其他規則幾何圖形，建議用變量代換，若無，考慮累次積分。

2、畫出積分區域，確定x,y的范圍。（確定范圍時要尤其注意，先確定容易確定的變量范圍，然后”后積“此變量，在此之后將該變量取一個常值取截原積分區域，可得另一變量的范圍）

3、累次積分，由難到易，變成一元函數積分問題。

• 對于三重積分的基本運算方法，與二重積分類似，

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三、重積分的計算相關題型匯總（個人曾經出錯的地方）

1、二重積分的運算方法

關于累次積分法

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1、一些原本不可積的對象，換序后變得可積（最好在過程中表示出來）

例：計算二次積分

不定積分不是初等函數，因此按照本題所給的順序，這個積分是算不出來的。記：

顯然，f 在矩形域上的不連續點都在直線上，這是一個零面積集，所以此函數對于，關于y在[0,1]上可積；同理，該函數對于，關于x在[0.1]上可積。所以可進行正常換序。（注意能夠正常換序的條件！！！）

下換序過程略。

2、累次積分時進行區域分割的情況匯總

x,y的取值范圍需要經過分割后才能完整表示整個區域

被積函數帶有絕對值/被積函數是分段函數

在sinx等函數中，一定范圍內積分上下限的大小關系發生了變化，為了保持二重積分化為累次積分時積分下限要小于積分上限的原則，需要進行分段討論。

3、對于“體”的區域分割（由于自己畫圖時做出體與平面相交區域是十分困難的，所以我們提出單獨講解）

例題：求由平面圍成的兩個空間區域的體積。

tip1:若空間想象能力弱，畫圖困難，可以考慮利用不等式列出所有可能情況，再篩選出合理情況

如：在時，有兩種可能，和這兩種情況均成立，于是找到了x取值范圍中的兩個區域，再用累次積分法逐一求解即可

注意：若計算這兩個空間區域的體積，應該先將兩個區域分別求積分，取絕對值后，再進行相加

tip2：讓z=0,將所有函數向xoy平面上做投影，通過投影區域確定x和y的范圍與累次積分的順序

4、若x,y的取值范圍無關（如矩形域）且x,y的被積函數可以完全拆開成為只有x的形式與只有y的形式，則二重積分可以寫成兩個普通的一元函數積分乘積的形式。

關于變量代換法

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1、關于從要注意

1、若變量代換是關于u,v到x,y的函數，可選擇先求出，再取倒數以簡化運算

2、注意求出行列式之后要取絕對值！！！

2、對于極坐標的變量代換，自己發現的小規律

1、一般先固定在某兩個特定角度中，再導出與有關的關系式；

2、對于定義域為圓的二重積分，我發現：若過圓心，則的范圍確定，與無關；若不過圓心，則的范圍，與有關，且可用題中不等式表示出來。（如果單純的話）

3、注意：

?3、求閉曲線圍成區域的面積

step1：求出閉曲線的極坐標方程，確定的范圍（閉曲線的話就是從0到2pi）。然后確定的范圍（用題中方程式表示）

step2：直接對區域進行二重積分即可

4、求閉曲面圍成區域的體積

（如求橢球面）

step1：寫出上半曲面的方程，將z與x,y分離（顯式表示）

step2：將z賦值為0，對應了此曲面在xy平面上的投影

step3：利用關于坐標軸的對稱性，將其化簡為x,y兩軸正半軸上的部分

step4：得到體積公式，運用變量代換法求解

#關于橢圓面()上x和y的坐標變換

5、對于通過其他變量代換的：關注題目中有規律的結構；最好代換后新的自變量區域為矩形；不要忘記成一個Jacobi矩陣。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二重积分问题、计算法则与注意事项汇总的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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