【線性代數(shù)的幾何意義】（一.一）——“線性”、“代數(shù)”的意義

何為“代數(shù)”

“代數(shù)”一詞的英文是Algebra，源于阿拉伯語(yǔ)，其本意是“結(jié)合在一起”。就是說(shuō)代數(shù)的功能就是把許多看似不相關(guān)的事物“結(jié)合在一起”，也就是進(jìn)行抽象。抽象的目的不是故弄玄虛，而是為了更好的解決問(wèn)題，提高效率，把許多看似不相關(guān)的問(wèn)題歸為一類問(wèn)題。

1.從代數(shù)式說(shuō)起

在我們的求學(xué)生涯中，最早出現(xiàn)的代數(shù)式是在初中階段，依稀記得什么系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等名詞，其定義為：由數(shù)和表示數(shù)的字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方等代數(shù)運(yùn)算所得的式子，或含有字母的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為代數(shù)式。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是我們可以使用字母代表任意的數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算，也可以使用字母之間的運(yùn)算規(guī)則來(lái)表示一些有規(guī)律的運(yùn)算，比如完全平方公式和平方差公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2

其后又出現(xiàn)了各種方程以及方程的根的代數(shù)表達(dá)式：

ax+b=0 其根為x=-b/a
ax2+bx+c=0 其根為x=[-b±(b²-4ac)^1/2]/(2a)
……

其實(shí)初中所學(xué)的代數(shù)式就是將來(lái)我們用到的代數(shù)。

2.再看“代數(shù)”

再看x²+1=0的根是什么？
在幾百年的數(shù)學(xué)史進(jìn)化過(guò)程中，抽象出了虛數(shù)，那么虛數(shù)的意義又是什么呢？后面的章節(jié)將會(huì)詳細(xì)介紹。
與此同時(shí)，數(shù)學(xué)也在持續(xù)不斷的進(jìn)化：
三元方程的根被解出來(lái)了；
四元方程的根也被解出來(lái)了；
那么五元方程的根如何表示呢？這便涉及到群的偉大概念。

由此現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心概念群，環(huán)，域，映射，線性空間等紛紛現(xiàn)世，標(biāo)志著代數(shù)從局部性研究轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體性分析研究階段。

講完了代數(shù)，線性問(wèn)題又是什么樣的問(wèn)題呢？

何為“線性”

線性代數(shù)李的線性主要意思就是線性空間中的線性變換，而線性變換或是線性映射是把中學(xué)的線性函數(shù)概念進(jìn)行重定義，強(qiáng)調(diào)了函數(shù)變量之間的變換意義。

1.線性函數(shù)

我們所接觸的線性函數(shù)的概念最早來(lái)自初中本一個(gè)叫做函數(shù)的單元，其中講解了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等概念以及應(yīng)用，而正比例函數(shù)就是一次函數(shù)的一部分，一次函數(shù)又叫線性函數(shù)，因?yàn)樗暮瘮?shù)圖像是一條直線。而二次函數(shù)也叫拋物線函數(shù)，因?yàn)樗暮瘮?shù)圖像是拋物線。
至此，詳細(xì)介紹線性函數(shù),根據(jù)上述說(shuō)明：

f(x)=kx+b（k，b為常數(shù)）

就是一個(gè)線性函數(shù)，如果b=0，那么函數(shù)圖像就是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，如下圖中的m所示。
上述所說(shuō)的是線性函數(shù)的幾何意義，那么線性函數(shù)的代數(shù)意義又是什么呢？
要滿足代數(shù)意義的“線性”就必須滿足兩個(gè)條件：

(1)可加性：如果函數(shù)f(x)是線性的，那么有：
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
即和的函數(shù)等于函數(shù)的和，在物理上也常說(shuō)因變量疊加后的作用結(jié)果等于各個(gè)因變量獨(dú)自作用結(jié)果的疊加。

(2)比例性：也叫作齊次性、數(shù)乘性或均勻性，有：
f(kx)=kf(x) k為常數(shù)
即比例的函數(shù)等于函數(shù)的比例，物理上常數(shù)因變量縮放，因變量的作用結(jié)果也同比例縮放。

驗(yàn)證上述所說(shuō)的f(x)=ax+b是否為線性函數(shù)：

可加性：
f(x1)=kx1+b;
f(x2)=kx2+b;
f(x1+x2)=k(x1+x2)+b;
f(x1)+f(x2)=k(x1+x2)+2b;
顯然：如果b!=0,f(x1+x2)!=f(x1)+f(x2);

比例性：
f(kx)=akx+b；
kf(x)=akx+kb;
顯然：如果b!=0,f(kx)!=kf(x)

大家也可以用同樣的方法嘗試驗(yàn)證其他函數(shù)是否為線性函數(shù)!

可加性和比例性結(jié)合在一起就是“線性”的全部意義，有

f(k1x1+k2x2)=k1f(x1)+k2f(x2)
k1、k2為常數(shù)

以上內(nèi)容引用自《線性代數(shù)的幾何意義》！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数的几何意义（一）——线性代数的意义的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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