真c++ 从二叉树到红黑树（4）之二叉平衡搜索树AVL
??此文章為從二叉樹到紅黑樹系列文章的第四節(jié)，主要介紹介紹二叉平衡搜索樹AVL，當你理解了AVL，紅黑樹你就理解了一半了！
文章目錄
- 一、前面文章鏈接~（點擊右邊波浪線可以返回目錄）
- 二、由BST引入BBST~
- 1.理想平衡~
- 2.適度平衡~
- 3.等價變換~
- 三、AVL樹的定義~
- 1.AVL樹的適度平衡~
- 2.AVL樹的平衡因子~
- 四、AVL類~
- （一）定義變量和接口~
- 1.利用已有的成員變量~
- 2.需要的接口~
- 3.重要輔助函數(shù)~
- 4.AVL.h~
- （二）判斷是否失衡~
- （三）AVL的失衡與重平衡~
- 1.因插入引起的失衡~
- （1）LL型失衡~
- （2）RR型失衡~
- （3）LR型失衡~
- （4）RL型失衡~
- 2.因刪除引起的失衡~
- （1）LL型失衡~
- （2）RR型失衡~
- （3）LR型失衡~
- （4）RL型失衡~
- 3.失衡情況總結(jié)~
- 4.統(tǒng)一重平衡算法~
- （1）萬能的connect 3+4算法~
- connece34代碼~
- （2）萬能的rotateAt算法~
- rotateAt代碼~
- （四）AVL的插入~
- 插入代碼~
- tallerChild函數(shù)~
- 效率分析~
- （五）AVL的刪除~
- 刪除代碼~
- 效率分析~
- 五、完整AVL.h~
- 六、測試代碼~
- 1.插入測試代碼~
- 2.插入測試圖示~
- 3.刪除測試代碼~
- 4.刪除測試圖示~
- 七、后序文章鏈接~
一、前面文章鏈接~（點擊右邊波浪線可以返回目錄）
??在閱讀本文前，強烈建議你看下前面的文章的目錄、前言以及基本介紹，否則你無法理解后面的內(nèi)容。鏈接如下：
二、由BST引入BBST~
??在介紹AVL之前，我們先來了解下什么叫二叉平衡搜索樹（BBST）以及為什么要引入BBST。
1.理想平衡~
??既然二叉搜索樹的性能主要取決于高度，故在節(jié)點數(shù)目固定的前提下，應(yīng)盡可能地降低高度。
??若樹高恰好為?log2n?（二叉樹的最低高度），則稱作理想平衡樹。如滿二叉樹和完全二叉樹。
??遺憾的是，完全二叉樹 “葉節(jié)點只能出現(xiàn)于最底部兩層” 的限制過于苛刻。所以要制定某種寬松的標準來實現(xiàn)適度平衡。
2.適度平衡~
??將樹高限制為“漸進地不超過log2n”。如AVL，RedBlack等。
3.等價變換~
??若兩棵樹的中序遍歷序列相同，則彼此等價。
三、AVL樹的定義~
1.AVL樹的適度平衡~
左右兄弟節(jié)點的高度相差不過1。2.AVL樹的平衡因子~
??由適度平衡的定義不難得知，要保持一顆AVL樹的平衡，必須使其左右子樹的高度相差不超過1.故用數(shù)學的方式可以理解為：
平衡因子（BalanceFactor）=左子樹高度-右子樹高度 平衡因子的絕對值不超過1。四、AVL類~
（一）定義變量和接口~
1.利用已有的成員變量~
??由于AVL樹屬于BST的一種，因此AVL樹可以繼承自BST，而BST又繼承自BinTree（二叉樹），而在此前（本系列文章第2節(jié)，第3節(jié)中），我們已經(jīng)擁有了以下成員變量，因此不需要額外給AVL定義變量。
BinNodePtr _hot;//"命中節(jié)點"的"父親"int _size;//二叉樹的規(guī)模 BinNodePtr _root;//二叉樹的樹根2.需要的接口~
??由于在BST中，我們已經(jīng)定義了查找search算法，因此，不需要給AVL重新寫查找算法，只需要對插入和刪除算法進行重寫既可，AVL和BST的插入和刪除算法，本質(zhì)上沒有區(qū)別，有區(qū)別的僅僅是插入和刪除之后的調(diào)整，而這種調(diào)整正是AVL與BST的最大差別所在。
在樹中插入一個節(jié)點insert 在樹中刪除一個節(jié)點remove3.重要輔助函數(shù)~
??在AVL中，引入了一個平衡因子的概念，所以需要一個函數(shù)，來判斷此時的AVL樹是否平衡。
判斷是否平衡的函數(shù)IsAvlBalanced??并且還需要一個重要的輔助函數(shù)來得到當前節(jié)點的最高的那個孩子節(jié)點（這個函數(shù)在描述AVL的插入刪除算法時就會發(fā)揮作用）
得到該節(jié)點更高的孩子tallerChild??此外，不要忘了在BST中遺留的兩個函數(shù)，在介紹重平衡時，也會描述這兩個算法的作用
3+4重構(gòu) connect34 對該節(jié)點及其父親、祖父做統(tǒng)一旋轉(zhuǎn)調(diào)整rotateAt4.AVL.h~
template<typename T = int> class AVL :public BST<T> {protected:using BinNodePtr = BinNode<T>*;public:BinNodePtr insert(const T& data)override;//插入（重寫）bool remove(const T& data)override;//刪除（重寫）protected:static constexpr bool IsAvlBalanced(const BinNodePtr& x) {//判斷是否平衡int BalanceFactor = stature(x->_lchild) - stature(x->_rchild);return (-2 < BalanceFactor && BalanceFactor < 2);}static BinNodePtr& tallerChild(BinNode<T>*& x);//更高的孩子 };//class AVL（二）判斷是否失衡~
??借助AVL樹的平衡因子的概念，不難寫出判斷是否平衡的代碼。其中stature是在本系列文章第一部分定義的得出當前節(jié)點高度的全局靜態(tài)函數(shù)。
static constexpr bool IsAvlBalanced(const BinNodePtr& x) {//判斷是否平衡int BalanceFactor = stature(x->_lchild) - stature(x->_rchild);return (-2 < BalanceFactor && BalanceFactor < 2); }??AVL樹失衡時，當且僅當IsAvlBalanced函數(shù)的返回值為false。
（三）AVL的失衡與重平衡~
??當AVL的平衡因子不再滿足平衡條件時，AVL就會發(fā)生失衡，而失衡無外乎就四種失衡情況，接下來，我們通過具體的例子來看看因為插入和刪除引起的AVL的失衡。
1.因插入引起的失衡~
（1）LL型失衡~
??下圖5 3由于2的插入，導致5的失衡，所以進行重平衡，即將3提升為根節(jié)點，5作為3的右孩子。
（2）RR型失衡~
??下圖2 3由于4的插入，導致2的失衡，所以進行重平衡，即將3提升為根節(jié)點，2作為3的左孩子。
（3）LR型失衡~
??下圖3 1由于2的插入，導致3的失衡，所以進行重平衡，即將2提升為根節(jié)點，1作為2的左孩子，3作為2的右孩子。
（4）RL型失衡~
??下圖3 5由于4的插入，導致3的失衡，所以進行重平衡，即將4提升為根節(jié)點，3作為4的左孩子，5作為4的右孩子。
2.因刪除引起的失衡~
（1）LL型失衡~
??下圖3 2 5 1由于5的插入，導致3的失衡，所以進行重平衡，即將2提升為根節(jié)點，3作為2的右孩子。
（2）RR型失衡~
??下圖3 2 4 5由于2的刪除，導致3的失衡，所以進行重平衡，即將4提升為根節(jié)點，3作為4的左孩子。
（3）LR型失衡~
??下圖4 2 5 3由于5的刪除，導致4的失衡，所以進行重平衡，即將3提升為根節(jié)點，2作為3的左孩子，4作為3的右孩子。
（4）RL型失衡~
??下圖2 1 5 3由于1的刪除，導致2的失衡，所以進行重平衡，即將3提升為根節(jié)點，2作為3的左孩子，5作為3的右孩子。
3.失衡情況總結(jié)~
??從上面插入的四種情況，以及刪除的四種情況可以看出，無論是插入還是刪除，其失衡之后的形狀都是一樣的，所以調(diào)整的方式也是一樣的！
??因此，不管是插入還是刪除，我們都可以采用同樣的調(diào)整方式。
??在很多教程上，都是用單旋（LL 或RR型失衡 只旋轉(zhuǎn)一次）和雙旋（LR或RL型失衡 要旋轉(zhuǎn)兩次）來處理失衡的情況，如果你看過其他的教程，那么你必然對下面的圖有所熟悉。當然，你不熟悉，也沒關(guān)系，我們只看這四種情況對應(yīng)的結(jié)果。
??可以發(fā)現(xiàn)，無論是單旋還是雙旋，其調(diào)整之后的形狀毫無例外，都是這種結(jié)構(gòu)。
??所以，我們可以只關(guān)注結(jié)果，不關(guān)心過程，無論哪種失衡情況，其調(diào)整之后的結(jié)構(gòu)都是上面這種結(jié)構(gòu)。因此就可以寫一個通用的調(diào)整函數(shù)，來專門負責失衡之后的調(diào)整。
4.統(tǒng)一重平衡算法~
??幸運的是，鄧老師已經(jīng)給出了解決方案。有了這種方法，你就再也不必為到底該左旋還是右旋而苦惱，也不必去記那種繁瑣的左右旋算法。
（1）萬能的connect 3+4算法~
??將上面的四種情況，統(tǒng)一簡化成下面圖中的形式。無論是那種調(diào)整方式，最終都必然調(diào)整為這種形式。
??實際上，這一理解涵蓋了所有的單旋和雙旋情況。相應(yīng)的重構(gòu)過程，僅涉及局部的三個節(jié)點及其四棵子樹，故稱作“3 + 4”重構(gòu)。
??到這里，我相信你已經(jīng)理解了在第三部分BST中所定義的connect34函數(shù)的作用了。
connece34代碼~
??接下來只要將對應(yīng)的節(jié)點按順序填入下面這個函數(shù)，就能實現(xiàn)重平衡。同時注意更新高度。
??在BST.h中定義的成員函數(shù)connect34，注意返回值為調(diào)整之后的根節(jié)點。
template<typename T> BinNode<T>* BST<T>::connect34(BinNode<T>* a, BinNode<T>* b, BinNode<T>* c,BinNode<T>* T1, BinNode<T>* T2, BinNode<T>* T3, BinNode<T>* T4) {a->_lchild = T1; if (T1)T1->_parent = a;a->_rchild = T2; if (T2)T2->_parent = a; this->updateHeight(a);c->_lchild = T3; if (T3)T3->_parent = c;c->_rchild = T4; if (T4)T4->_parent = c; this->updateHeight(c);b->_lchild = a; a->_parent = b;b->_rchild = c; c->_parent = b; this->updateHeight(b);return b; }??下一步，問題就在于，如何確定 a b c T1 T2 T3 T4的順序？
（2）萬能的rotateAt算法~
??觀察上面四種失衡情況，無論是哪種失衡情況，其失衡時，都必然涉及3個節(jié)點的位置變換。
??并且這三個節(jié)點，也一定為祖孫三代的關(guān)系。
??因此，不妨設(shè)最小的那個節(jié)點為v，其父親為p，其祖父為g。分四種情況，將v p g以及對應(yīng)的孩子，放入connect34函數(shù)里面進行重平衡。
rotateAt代碼~
??在BST.h中，我們定義了rotateAt算法，下面為其具體實現(xiàn)。對需要調(diào)整的節(jié)點，分四種情況，借助connect34函數(shù)，進行調(diào)整7個節(jié)點的相對位置。
template<typename T> BinNode<T>* BST<T>::rotateAt(BinNode<T>* v) //返回調(diào)整后局部子樹根節(jié)點的位置 {if (v == nullptr) {printf("Error!"); exit(0);}//設(shè)定v的父親與祖父//視v、p和g相對位置分四種情況BinNode<T>* p = v->_parent; BinNode<T>* g = p->_parent;if (IsLChild(p)) {//Lif (IsLChild(v)) {//LLp->_parent = g->_parent;//向上連接return connect34(v, p, g, v->_lchild, v->_rchild, p->_rchild, g->_rchild);}else {//LRv->_parent = g->_parent;//向上連接return connect34(p, v, g, p->_lchild, v->_lchild, v->_rchild, g->_rchild);}}else {//Rif (IsRChild(v)) {//RRp->_parent = g->_parent;//向上連接return connect34(g, p, v, g->_lchild, p->_lchild, v->_lchild, v->_rchild);}else {//RLv->_parent = g->_parent;//向上連接return connect34(g, v, p, g->_lchild, v->_lchild, v->_rchild, p->_rchild);}} }讀者可以繼續(xù)通過這兩個圖來細細體會。
（四）AVL的插入~
??在理解了AVL的重平衡原理之后，AVL的插入和刪除就也很容易理解了。
在插入新的節(jié)點的時候，有一個現(xiàn)象，就是無論如何：1. 新節(jié)點的父親節(jié)點，一定不可能失衡； 2. 并且失衡的節(jié)點一定為該新節(jié)點的祖先節(jié)點； 3. 一旦其有一個祖先恢復了平衡，整顆AVL樹必將恢復平衡。插入代碼~
??像往常的樹的插入一樣，在插入之前，我們需要進行查找操作，如果存在這個節(jié)點，就不插入，如果不存在這個節(jié)點，就插入新的節(jié)點，并且得益于_hot節(jié)點（見第三部分BST中_hot節(jié)點的作用），我們能很快的將節(jié)點插入正確的位置，同時也更新了對應(yīng)的父子節(jié)點指針。
??接下來就按照AVL插入新節(jié)點的性質(zhì)，來寫出下面的代碼。并且在此處我們要用到FromParentTo算法（見第二部分BinTree），此算法的作用是獲取當前節(jié)點的父親的孩子的引用，即獲取當前節(jié)點的引用，哪怕當前節(jié)點里面的內(nèi)容發(fā)生了變化，其作為指針的本身的地址不會發(fā)生變化，只是指針所指的地址發(fā)生了變化。
template<typename T> BinNode<T>* AVL<T>::insert(const T& data){//無論data在不在子樹中，返回值的_data均為dataBinNode<T>*& x = this->search(data);if (x)return x;x = new BinNode<T>(data,this->_hot);//創(chuàng)建新節(jié)點this->_size++;//更新規(guī)模for (BinNode<T>* g = this->_hot; g; g = g->_parent) {if (!IsAvlBalanced(g)) {//如果失衡//必須要提前將地址取好,不然g的里面的數(shù)據(jù)發(fā)生變動，就會造成指針亂指。BinNode<T>*& parent_child_Address = this->FromParentTo(g);parent_child_Address= this->rotateAt(tallerChild(tallerChild(g)));/*首先調(diào)用tallerChild函數(shù)，來確定到底旋轉(zhuǎn)哪一個g的孫子節(jié)點（選擇g的最高孩子的最高孩子作為旋轉(zhuǎn)節(jié)點）*在旋轉(zhuǎn)過程中，對g的孩子，g的孫子的左右旋情況，分四種情況進行判斷。并利用connect34函數(shù)，做快速重構(gòu)*從而實現(xiàn)將失衡的g恢復正常平衡。并且rotateAt的返回值，就是重構(gòu)后的對應(yīng)子樹的根節(jié)點的位置，把這個返回值*作為原來g的父親的孩子，即重新連接重構(gòu)后的子樹與原來的子樹。并且在connect34過程中，對樹的高度也進行了更新。所以不必再度更新。*/break;//一旦發(fā)生了重構(gòu)，就不需要對后續(xù)的祖先進行高度更新和重構(gòu)了。}else {this->updateHeight(g);//未失衡，只需更新g的高度，不需要更新所有高度。}}return x; }??并且在插入算法中，我們用到了tallerChild函數(shù)，這個函數(shù)是獲取當前節(jié)點的最高孩子節(jié)點。我們需要用這個函數(shù)，來獲取傳到rotateAt函數(shù)里面節(jié)點。
tallerChild函數(shù)~
??顧名思義，獲取當前節(jié)點的最高的孩子。
/*期望c++20可以支持，auto compareResult = stature(x->_lchild) <=> stature(x->_rchild);*/ template<typename T> inline BinNode<T>*& AVL<T>::tallerChild(BinNode<T>*& x){int lHeight = stature(x->_lchild);int rHeight = stature(x->_rchild);if (lHeight > rHeight) {return x->_lchild;}else if (lHeight < rHeight) {return x->_rchild;}else {//如果左右高度相等，則按父親是左孩子還是右孩子，來返回對應(yīng)的左右孩子return (IsLChild(x) ? x->_lchild : x->_rchild);} }效率分析~
??該算法首先按照二叉搜索樹的常規(guī)算法，在O(logn)時間內(nèi)插入新節(jié)點x。
??既然原樹是平衡的，故至多檢查O(logn)個節(jié)點即可確定失衡節(jié)點；如有必要，只需要進行一次重構(gòu)，即可使局部乃至全樹恢復平衡。
??由此可見，AVL樹的節(jié)點插入操作可以在O(logn)時間內(nèi)完成。
（五）AVL的刪除~
在刪除新的節(jié)點的時候，有一個現(xiàn)象，就是無論如何： 1. 第一個失衡的節(jié)點，可能是父親節(jié)點。 2. 每一次失衡，都必然只有一個祖先失衡，失衡的也只可能是祖先節(jié)點，不可能多個祖先同時失衡 3. 一個祖先修復平衡后，可能接下來導致下一個祖先也失衡，極端條件下，可能要重平衡多次。刪除代碼~
??AVL的刪除的大體步驟跟BST的刪除十分類似，只是刪除之后，要進行修復平衡。因此需要借助在第三部分BST中定義的removeAt刪除靜態(tài)函數(shù)（建議理解了這個函數(shù)再來看AVL的刪除）。
??AVL刪除的重平衡算法和插入的重平衡算法類似，只是對于祖先節(jié)點處理方式不一樣，在插入算法中，一旦一個祖先恢復平衡，其他祖先就不需要進行平衡的檢測了。而刪除算法中，哪怕這個節(jié)點恢復了平衡，也要對其父親進行平衡的檢測。
??只有當前節(jié)點是平衡的，并且高度沒有發(fā)生變化時，重平衡才大功告成。
template<typename T> bool AVL<T>::remove(const T& data) {BinNode<T>*& x = this->search(data);if (!x)return false;//如果不存在，返回falseremoveAt(x, this->_hot);//刪除此節(jié)點，并更新_hot值this->_size--;//更新規(guī)模for (BinNode<T>* g = this->_hot; g; g = g->_parent) {if (!IsAvlBalanced(g)) {//如果失衡BinNode<T>*& parent_child_Address = this->FromParentTo(g);//先記錄之前的父親節(jié)點的孩子指針parent_child_Address = this->rotateAt(tallerChild(tallerChild(g)));//將孩子指針指向新的子樹根節(jié)點g = parent_child_Address;//更新g，g此時必然是處于平衡狀態(tài)}else {int gHeight = g->_height;if (gHeight == this->updateHeight(g)) {//沒失衡也要檢查高度,祖先高度沒變，則后序祖先也不需要進行更新。break;} }}return true;//刪除成功 }效率分析~
??較之插入操作，刪除操作可能需在重平衡方面多花費一些時間。不過，既然需做重平衡的節(jié)點都是被刪除節(jié)點的祖先，故重平衡過程累計只需不過O(logn)時間。
??綜合各方面的消耗，AVL樹的節(jié)點刪除操作總體的時間復雜度依然是O(logn)。
五、完整AVL.h~
#pragma once #include "BST.h"namespace mytree {template<typename T = int>class AVL :public BST<T> {protected:using BinNodePtr = BinNode<T>*;public:BinNodePtr insert(const T& data)override;//插入（重寫）bool remove(const T& data)override;//刪除（重寫）protected:static constexpr bool IsAvlBalanced(const BinNodePtr& x) {//判斷是否平衡int BalanceFactor = stature(x->_lchild) - stature(x->_rchild);return (-2 < BalanceFactor && BalanceFactor < 2);}static BinNodePtr& tallerChild(BinNode<T>*& x);//更高的孩子};//class AVLtemplate<typename T>BinNode<T>* AVL<T>::insert(const T& data){//無論data在不在子樹中，返回值的_data均為dataBinNode<T>*& x = this->search(data);if (x)return x;x = new BinNode<T>(data,this->_hot);//創(chuàng)建新節(jié)點this->_size++;//更新規(guī)模for (BinNode<T>* g = this->_hot; g; g = g->_parent) {if (!IsAvlBalanced(g)) {//如果失衡//必須要提前將地址取好,不然g的里面的數(shù)據(jù)發(fā)生變動，就會造成指針亂指。BinNode<T>*& parent_child_Address = this->FromParentTo(g);parent_child_Address= this->rotateAt(tallerChild(tallerChild(g)));/*首先調(diào)用tallerChild函數(shù)，來確定到底旋轉(zhuǎn)哪一個g的孫子節(jié)點（選擇g的最高孩子的最高孩子作為旋轉(zhuǎn)節(jié)點）*在旋轉(zhuǎn)過程中，對g的孩子，g的孫子的左右旋情況，分四種情況進行判斷。并利用connect34函數(shù)，做快速重構(gòu)*從而實現(xiàn)將失衡的g恢復正常平衡。并且rotateAt的返回值，就是重構(gòu)后的對應(yīng)子樹的根節(jié)點的位置，把這個返回值*作為原來g的父親的孩子，即重新連接重構(gòu)后的子樹與原來的子樹。并且在connect34過程中，對樹的高度也進行了更新。所以不必再度更新。*/break;//一旦發(fā)生了重構(gòu)，就不需要對后續(xù)的祖先進行高度更新和重構(gòu)了。}else {this->updateHeight(g);//未失衡，只需更新g的高度，不需要更新所有高度。}}return x;}template<typename T>bool AVL<T>::remove(const T& data){BinNode<T>*& x = this->search(data);if (!x)return false;//如果不存在，返回falseremoveAt(x, this->_hot);//刪除此節(jié)點，并更新_hot值this->_size--;//更新規(guī)模for (BinNode<T>* g = this->_hot; g; g = g->_parent) {if (!IsAvlBalanced(g)) {//如果失衡BinNode<T>*& parent_child_Address = this->FromParentTo(g);//先記錄之前的父親節(jié)點的孩子指針parent_child_Address = this->rotateAt(tallerChild(tallerChild(g)));//將孩子指針指向新的子樹根節(jié)點g = parent_child_Address;//更新g，g此時必然是處于平衡狀態(tài)}else {int gHeight = g->_height;if (gHeight == this->updateHeight(g)) {//沒失衡也要檢查高度,祖先高度沒變，則后序祖先也不需要進行更新。break;} }}return true;//刪除成功}/*期望c++20可以支持，auto compareResult = stature(x->_lchild) <=> stature(x->_rchild);*/template<typename T>inline BinNode<T>*& AVL<T>::tallerChild(BinNode<T>*& x){int lHeight = stature(x->_lchild);int rHeight = stature(x->_rchild);if (lHeight > rHeight) {return x->_lchild;}else if (lHeight < rHeight) {return x->_rchild;}else {//如果左右高度相等，則按父親是左孩子還是右孩子，來返回對應(yīng)的左右孩子return (IsLChild(x) ? x->_lchild : x->_rchild);}}}//namespace mytree六、測試代碼~
1.插入測試代碼~
#include<iostream> #include "AVL.h" using namespace std; using namespace mytree;template<typename BinNodePtr> void visitprint(BinNodePtr x) {cout << x->_data; }int main() {AVL<int>* avl = new AVL<int>;for (int i = 0; i < 10; ++i) {avl->insert(i);}avl->travLevel(visitprint<BinNode<int>*>);cout << endl;avl->travPre(visitprint<BinNode<int>*>);cout << endl;avl->travIn(visitprint<BinNode<int>*>);cout << endl;avl->travPost(visitprint<BinNode<int>*>);cout << endl;delete avl;return 0; } 3170258469 3102754689 0123456789 02146598732.插入測試圖示~
3.刪除測試代碼~
#include<iostream> #include "AVL.h" using namespace std; using namespace mytree;template<typename BinNodePtr> void visitprint(BinNodePtr x) {cout << x->_data; }int main() {AVL<int>* avl = new AVL<int>;for (int i = 0; i < 10; ++i) {avl->insert(i);}avl->travLevel(visitprint<BinNode<int>*>);cout << endl;avl->travPre(visitprint<BinNode<int>*>);cout << endl;avl->travIn(visitprint<BinNode<int>*>);cout << endl;avl->travPost(visitprint<BinNode<int>*>);cout << endl<<endl;for (int i = 0; i < 10; ++i) {avl->remove(i);avl->travIn(visitprint<BinNode<int>*>);cout << endl;}delete avl;return 0; } 3170258469 3102754689 0123456789 0214659873123456789 23456789 3456789 456789 56789 6789 789 89 94.刪除測試圖示~
七、后序文章鏈接~
學一個東西，不知道其道理，不高明！
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的真c++ 从二叉树到红黑树（4）之二叉平衡搜索树AVL的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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