離散數(shù)學(xué)4：析取范式與合取范式

命題公式的兩種規(guī)范表示方法，能表達(dá)真值表所能提供的一切信息。

命題變項(xiàng)及其否定統(tǒng)稱作文字。僅由有限個(gè)文字構(gòu)成的析取式叫簡(jiǎn)單析取式，僅由有限個(gè)文字構(gòu)成的合取式叫簡(jiǎn)單合取式。

（析取式就是由∨鏈接的，比如q， ￢q∨p，p∨q∨r；合取式就是由∧鏈接的，比如p，￢p∧q，￢p∧￢q∧r。所以一個(gè)文字既是簡(jiǎn)單析取式又是簡(jiǎn)單合取式。）

定理：（1）一個(gè)簡(jiǎn)單析取式是重言式當(dāng)且僅當(dāng)它同時(shí)含某個(gè)命題變項(xiàng)及它的否定式。

（2）一個(gè)簡(jiǎn)單合取式是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)它同時(shí)含有某個(gè)命題變項(xiàng)及它的否定式。

所以，由有限個(gè)簡(jiǎn)單合取式的析取構(gòu)成的命題公式稱為析取范式。由有限個(gè)簡(jiǎn)單析取式的合取構(gòu)成的命題公式稱為合取范式。析取范式與合取范式統(tǒng)稱為范式。

比如（￢p∨q）∧(￢p∨r) ∧(p∨q∧r)是合取范式，

（p∧q）∨(p∧￢q) ∨(p∧q∧r)是析取范式。

而類似p∧q∧r既是由3個(gè)簡(jiǎn)單析取式構(gòu)成的合取范式，又是1個(gè)簡(jiǎn)單合取式構(gòu)成的析取范式；p∨q∨r既是由1個(gè)簡(jiǎn)單析取式構(gòu)成的合取范式，又是3個(gè)簡(jiǎn)單合取式構(gòu)成的析取范式。

析取范式和合取范式的性質(zhì)：

（1）一個(gè)析取范式是矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)它的每個(gè)簡(jiǎn)單合取式都是矛盾式。

（2）一個(gè)合取范式是重言式當(dāng)且僅當(dāng)它的每個(gè)簡(jiǎn)單析取式都是重言式。

為了把含有￢∨∧→?這五種聯(lián)結(jié)詞的命題公式化成等值的析取范式或合取范式，我們首先要消滅→和?。這可以用下面兩個(gè)公式做到：

A→B?￢A∨B

A?B?(A→B) ∧(B→A) ?(￢A∨B) ∧(￢B∨A)

這樣就消去了→和?

然后范式中一個(gè)文字最多有一個(gè)非，且必須緊跟文字，也就是說(shuō)要消滅￢￢A和

￢（A∨B），￢(A∧B)這類的

用如下公式解決：

￢￢A?A

￢（A∨B）?￢A∧￢B

￢(A∧B) ?￢A∨￢B

然后在析取范式中不得出現(xiàn)A∧(B∨C)

在合取范式中不得出現(xiàn)A∨(B∧C)。

用如下公式解決：

A∧(B∨C) ?(A∧B) ∨(A∧C)

A∨(B∧C) ?(A∨B) ∧(A∨C)

這樣就可以化成范式了。

定理：任一命題公式都存在與之等值的析取范式與合取范式。

求給定公式范式的步驟為：

（1）消去聯(lián)結(jié)詞→，?。

（2）消去￢￢，移出否定內(nèi)容

（3）求析取范式時(shí)使用A∧(B∨C) ?(A∧B) ∨(A∧C)

求合取范式時(shí)使用A∨(B∧C) ?(A∨B) ∧(A∨C)

例：求（p→q）?r的析取范式與合取范式

先消去→和?：

（p→q）?r

?（￢p∨q）?r

?((￢p∨q) →r) ∧(r→(￢p∨q))

?(￢(￢p∨q) ∨r) ∧(￢r∨(￢p∨q))

?((p∧￢q)∨r) ∧(￢r∨￢p∨q)

?(p∨r) ∧(￢q∨r) ∧(￢r∨￢p∨q)

這就是給定公式的合取范式

再求析取范式

（p→q）?r

?（￢p∨q）?r

?((￢p∨q)→r)∧(r→(￢p∨q))

?(￢(￢p∨q)∨r)∧(￢r∨(￢p∨q))

?((p∧￢q)∨r)∧(￢r∨￢p∨q)

?（(p∧￢q)∧￢r）∨（(p∧￢q)∧￢p）∨（(p∧￢q)∧q）∨（r∧￢r）∨

(r∧￢p)∨(r∨q)

?(p∧￢q∧￢r)∨ (r∧￢p) ∨(r∨q)

這就是給定公式的析取范式。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/XiaobaoKing/p/4559276.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的离散数学4的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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