1.1 函數

函數是將一個對象轉化為另一個對象的規則。起始對象稱為輸入，來自稱為定義域的集合。返回的對象稱為輸出，來自稱為上域的集合。

1.一個函數必須給每一個有效的輸入指定唯一的輸出
2.上域是可能輸出的集合，而值域是實際輸出的集合。

1.1.1 區間表示法

小括號為開中括號為閉，混合的為半開

1.1.2 求定義域

主要注意三點：
1.分母不能為0
2.不能取負數的平方根
3.不能取非正數的對數

1.1.3 利用圖像求值域

在定義域內，函數在y軸上的投影范圍即為值域

1.1.4 垂線檢驗

對于一個函數，每一個x值至多對應一個y值。因此，對于實函數，一條垂直于x軸的直線（x=k）與一個函數的圖像至多有1個交點。如不然，則說明其并非函數的圖像。

1.2 反函數

設函數y=f(x)的定義域是D，值域是f(D)。如果對于值域f(D)中的每一個y，在D中有且只有一個x使得g(y)=x，則按此對應法則得到了一個定義在f(D)上的函數，并把該函數稱為函數y=f(x)的反函數，記為

$x=f^{?1}(y),y\in f(D)$

1.2.1 水平線檢驗

如果一條水平線和一個函數的圖像至多相交一次，那么這個函數就有一個反函數

1.2.2 求逆

除了直接運算，也可以以函數y=x為對稱軸，畫出反函數

1.2.3 限制定義域

當水平線檢驗失敗并且沒有反函數時，只保留一個x值。

1.2.4 反函數的反函數

如果f有反函數f^-1，那么
對于f值域中的所有y，反函數的反函數等于自身，即f(f^-1(y)) = y，但是
f(f^-1(x)) = x可能不成立，事實上，當x在限制的定義域中才成立。

1.3 函數的復合

這個沒啥好說的

1.4 奇函數和偶函數

偶函數的圖像關于y軸具有對稱性
奇函數的圖像關于原點具有180°的點對稱性

1.5 線性函數的圖像

1.6 常見函數及其圖像

1.多項式
以f(x) = 5x⁴- 4x³ +10為例
基本項xⁿ的倍數叫做xⁿ的系數。最大的冪指數n(該項系數不能為0)叫做多項式的度數.上述多項式的度數為4.下圖為x⁰到x⁷的圖像。
最大度數的系數叫主導系數。主導系數可以幫助判斷多項式最左端和最右端的走勢。
如下圖：

度數為2的多項式又叫二次函數。判別式的表達式為
$?=b^2?4ac$
當 $?$ < 0,在實數范圍內無解。對于前兩種情況解為：
$\frac{?b\pm \sqrt{b^2?4ac}}{2a}$
二項函數一個重要的技能是配方，這個大家都會

2.有理函數
$\frac{p(x)}{q(x)}$ 這種形式的函數即為有理函數
最簡單的有理數是多項式本身，即q(x)為1的有理函數，另一個簡單的例子是1/xⁿ，其中n為正整數。下面是常見的一些有理函數的圖像

3.指數函數和對數函數
y = b^x(b > 1)的圖像與上圖很類似。左端的水平漸近線為x軸。y = 2^-x與y = 2^x關于有軸對稱，如圖1-18所示

由于y = 2^x滿足水平線檢驗，所以該函數有反函數，這個反函數就是以2為底的對數$y={\lg }_2(x)$。以直線y=x為對稱軸，$y={\lg }_2(x)$如圖1-19所示。

4.三角函數 下章做介紹
5.帶有絕對值的函數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《普林斯顿微积分读本》 第一章：函数、图像和直线的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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