普林斯頓微積分讀本 大綱重點

由于博客園太菜，所以我用圖片上傳。

當前更新狀態：未完待續，挖坑暫時不填了。

UPD(2018-07-08): 稍微更一下，加一個本書的某一版本下載鏈接：https://pan.baidu.com/s/12DWtOkB2IjmQjnpwVZ_VvA

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UPD(2019-02-27):

我決定草率的更新一下。(之前的在后面……)

有些簡單的結論我就不證明了。

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$$\frac ze8trgl8bvbq{dx}(x^a) = ax^{a-1}$$

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乘積法則：若 $h(x) = f(x) g(x) $ ，則 $h'(x) = f'(x) g(x) =f(x) g'(x) $ .

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證明：

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$$h'(x) = \lim_{d\rightarrow 0} \frac {f(x+d)g(x+d) -f(x)g(x)}ze8trgl8bvbq\\=\lim_{d\rightarrow 0}\frac{(f(x+d)-f(x)+f(x))(g(x+d)-g(x)+g(x))-f(x)g(x)}ze8trgl8bvbq\\=\lim_{d\rightarrow 0}\frac{(f(x+d)-f(x))g(x)+f(x)(g(x+d)-g(x))+(f(x+d)-f(x))(g(x+d)-g(x))}ze8trgl8bvbq\\=\lim_{d\rightarrow 0}\frac{f(x+d)-f(x)}ze8trgl8bvbqg(x) + \frac{g(x+d)-g(x)}d f(x)\\=f'(x) g(x) =f(x) g'(x) ?$$

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商法則：若 $h(x) = \frac {f(x)}{g(x)} $ ，則 $h'(x) = \frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ .

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證明：

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$$h'(x) = \lim_{d\rightarrow 0} \cfrac{\frac{f(x+d)}{g(x+d)}-\frac{f(x)}{g(x)}}ze8trgl8bvbq\\= \lim_{d\rightarrow 0} \cfrac{\frac{f(x+d)g(x)-f(x)g(x+d)}{g(x+d)g(x)}}ze8trgl8bvbq\\= \lim_{d\rightarrow 0} \frac{(f(x+d)-f(x))g(x)-(g(x+d)-g(x))f(x)}{g(x+d)g(x)d}\\= \lim_{d\rightarrow 0}h'(x) = \frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{g^2(x)}?$$

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鏈式求導法則：若 $h(x) =f(g(x))$ ，則 $h'(x) = f'(g(x))g'(x)$.

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證明：

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$$h'(x) = \lim_{d\rightarrow 0} \frac{f(g(x+d))-f(g(x))}ze8trgl8bvbq\\=\lim_{d\rightarrow 0} \frac{(f(g(x))+f'(g(x))(g(x+d)-g(x)))-f(g(x))}ze8trgl8bvbq\\=\lim_{d\rightarrow 0} \frac{f'(g(x))(g(x+d)-g(x))}ze8trgl8bvbq\\=f'(g(x))g'(x)$$

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三角函數相關

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$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x}=1$$

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證明：

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首先畫個單位圓(半徑為1的圓)，在上面畫個三角形，設x是那個圓心角的弧度（數值上也等于對應的圓弧的長度），現在我們看看 $sin(x)$ 是什么：

$sin(x) = c/a = c$

當 $x$ 趨于0的時候，$c/d$ 和 $d/x$ 都趨于 1 ，所以 $c/x = (c/d)/(d/x)$ 也趨于1 ，所以這個結論得證。

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$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0?$$

證明：

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{x}\cdot \frac{1}{1+\cos(x)}\\=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin^2(x)}{x}\cdot 0.5\\=0$$

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$$\sin'(x) = \cos(x)$$

證明：

$$\sin'(x) = \lim_{d\rightarrow 0 }\frac{\sin(x+d) -\sin(x)}ze8trgl8bvbq \\= \lim_{d\rightarrow 0 }\frac{\sin(x)\cos(d)+\sin(d)\cos(x)-\sin(x)}ze8trgl8bvbq\\= \lim_{d\rightarrow 0 } \frac{\sin(x)(1-\cos(d))+\cos(x)\sin(d)}ze8trgl8bvbq\\=\lim_{x\rightarrow0}0+\cos(x)\\=\cos(x)?$$

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類似的證明方法可得：

$$\cos'(x) =-\sin(x)$$

$$\tan'(x) = \sec^2(x)$$

$$\sec'(x) = \sec(x)\tan(x)$$

$$\csc'(x) = -\csc(x)\cot(x) $$

$$\cot'(x) = -\csc^2(x)$$

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定義：

$$e^r= \lim_{h\rightarrow 0^+}((1+h)^{1/h})^r = \lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac rn )^n$$

$$\ln(x) = \log _e(x)$$

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$$\ln'(x) = \frac 1 x $$

證明：

$$\ln'(x) = \lim_{d\rightarrow 0 }\frac{\ln(x+d)-\ln(x)}ze8trgl8bvbq\\=\lim_{d\rightarrow 0 }\frac{1}ze8trgl8bvbq\ln\left(\frac{x+d}{x}\right)\\=\lim_{d\rightarrow 0 }\ln\left(1+\fracze8trgl8bvbq{x}\right)^{1/d}\\=\lim_{d\rightarrow 0 }\ln e^{1/x} \\= \frac 1 x $$

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$$\log'_a(x) = \frac 1 {x\ln(b)}$$

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$$\frac {\rm d} {{\rm d}x} (e^x ) = e^x ?$$

證明：

$$\frac{{\rm d}(\ln(x))}{{\rm d}y} = \frac{1}{y}$$

$$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}(\ln(x))} = y$$

$$\frac{{\rm d}(e^{\ln(x)})}{{\rm d}(\ln(x))} = e^{\ln(x)}$$

所以

$$\frac {\rm d} {{\rm d}x} (e^x ) = e^x $$

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洛必達法則

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對 $f(x)$ 求不定積分就是求一個函數 $g(x)$ 滿足 $g'(x)=f(x)?$ 。

$$\begin{array} { l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } x ^ { a } = a x ^ { a - 1 } } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \ln ( x ) = \frac { 1 } { x } } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \mathrm { e } ^ { x } = \mathrm { e } ^ { x } } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } b ^ { x } = b ^ { x } \ln ( b ) } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \sin ( x ) = \cos ( x ) } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \cos ( x ) = - \sin ( x ) } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \tan ( x ) = \sec ^ { 2 } ( x ) } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \sec ( x ) = \sec ( x ) \tan ( x ) } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \cot ( x ) = - \csc ^ { 2 } ( x ) } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } \csc ( x ) = - \csc ( x ) \cot ( x ) } \\ { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } x } \sin ^ { - 1 } ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } \\ { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } x } \tan ^ { - 1 } ( x ) = \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } } \\ { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } x } \sec ^ { - 1 } ( x ) = \frac { 1 } { | x | \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } } \\ { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } x } \sinh ( x ) = \cosh ( x ) } \\ { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } x } \cosh ( x ) = \sinh ( x ) } \\ { \int x ^ { a } \mathrm { d } x = \frac { x ^ { a + 1 } } { a + 1 } + C \quad ( \text { if } a \neq - 1 ) } \\ { \int \frac { 1 } { x } \mathrm { d } x = \ln | x | + C } \\ { \int \mathrm { e } ^ { x } \mathrm { d } x = \mathrm { e } ^ { x } + C } \\ { \int b ^ { x } \mathrm { d } x = \frac { b ^ { x } } { \ln ( b ) } + C } \\ {\int \cos ( x ) \mathrm { d } x = \sin ( x ) + C } \\ { \int \sin ( x ) \mathrm { d } x = - \cos ( x ) + C } \\ { \int \sec ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x = \tan ( x ) + C } \\ { \int \sec ( x ) \tan ( x ) \mathrm { d } x = \sec ( x ) + C } \\ { \int \csc ^ { 2 } ( x ) \mathrm { d } x = - \cot ( x ) + C }\\{ \int \csc ( x ) \cot ( x ) \mathrm { d } x = - \csc ( x ) + C } \\ { \int \frac { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \mathrm { d } x = \sin ^ { - 1 } ( x ) + C } \\ { \int \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \mathrm { d } x = \tan ^ { - 1 } ( x ) + C } \\ { \int \frac { 1 } { | x | \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } \mathrm { d } x = \sec ^ { - 1 } ( x ) + C } \\ { \int \cosh ( x ) \mathrm { d } x = \sinh ( x ) + C } \end{array}$$

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一個函數 $f$ 的麥克勞林級數定義為：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

效果就是把它轉成多項式。

$$\mathrm { e } ^ { x } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } = 1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots$$

$$\sin ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } x ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! } = x - \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots$$

$$\cos ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } x ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } = 1 - \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } + \cdots$$

$$\frac { 1 } { 1 - x } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } x ^ { n } = 1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \cdots$$

$$ { \ln ( 1 + x ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } - \frac { ( - 1 ) ^ { n } x ^ { n } } { n } = x - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \frac { x ^ { 4 } } { 4 } + \cdots } $$

$$ { \ln ( 1 - x ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } - \frac { x ^ { n } } { n } = - x - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \frac { x ^ { 4 } } { 4 } - \cdots } $$

$$\tan ^ { - 1 } ( x ) = x - \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 } + \cdots = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } x ^ { 2 n + 1 } } { 2 n + 1 }$$

有什么用？

一個例子：

證明歐拉等式：

$$\mathrm { e } ^ { i \theta } = \cos ( \theta ) + i \sin ( \theta )$$

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證明：

$$\begin{aligned} \mathrm { e } ^ { i \theta } & = 1 + ( i \theta ) + \frac { ( i \theta ) ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { ( i \theta ) ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { ( i \theta ) ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { ( i \theta ) ^ { 5 } } { 5 ! } + \frac { ( i \theta ) ^ { 6 } } { 6 ! } + \frac { ( i \theta ) ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots \\ & = 1 + i \theta - \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 ! } - i \frac { \theta ^ { 4 } } { 3 ! } + \frac { \theta ^ { 4 } } { 4 ! } + i \frac { \theta ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { \theta ^ { 7 } } { 6 ! } - i \frac { \theta ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots \end{aligned}$$

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我們把他們的實部和虛部分開，可以得到：

實部：

$$1 - \frac { \theta ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { \theta ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { \theta ^ { 6 } } { 6 ! } + \cdots = \cos ( \theta )$$

虛部：

$$\theta - \frac { \theta ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { \theta ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { \theta ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots = \sin ( \theta )$$

證完了。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Calculus.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本 大纲与重点 （by zzd）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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