第 3 章 極限導論

如果沒有極限的概念,，那么微積分將不復存在。

• 對于極限是什么的一個直觀概念；
• 左、右與雙側極限, 及在 ∞ 和 -∞ 處的極限；
• 何時極限不存在；
• 三明治定理(也稱作“夾逼定理”)。

3.1 極限：基本思想

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$
表示“當x趨于a，f(x)的極限等于L”。f(a)的值和該極限是不相關的，只有那些在x接近a時f(x)的值，而不是在a處的值，才是問題的關鍵。

變量x是一個虛擬變量，它是一個暫時的標記，用來表示某個（在上述情況下）非常接近于α的量。它可以被替換成其它任意字符，只要替換是徹底的；同樣，當求出極限時，結果不可能包含這個虛擬變量。

3.2 左極限與右極限

$$\underset{x\to 3^{?}}{\lim }h(x)=1\underset{x\to 3^{+}}{\lim }h(x)=?2$$

x -> 3^-? 表示該極限是個左極限，你需要在3上減一點點來看會有什么情況發生。x -> 3⁺ 表示該極限是個右極限，意味著你只需要考慮如果在3上加一點點會有什么情況發生。
$$\underset{x\to a^{?}}{\lim }f(x)=L且\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L等價于\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$
如果左極限和右極限不相等，例如上述例子中的函數h，那么雙側極限不存在。我們寫作
$$\underset{x\to 3}{\lim }h(x)不存在$$
或使用縮寫“DNE”表示“不存在”。

3.3 何時不存在極限

當相應的左極限和右極限不相等時雙側極限不存在。
$$“f在x=a處有一條垂直漸近線”說的是，\underset{x\to a^{+}}{\lim }和\underset{x\to a^{?}}{\lim }，其中至少有一個極限是\infty 或?\infty 。$$

3.4 在∞和-∞處的極限

$$“f在y=L處有一條右側水平漸近線”意味著\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L。$$
$$“f在y=M處有一條左側水平漸近線”意味著\underset{x\to ?\infty }{\lim }f(x)=M。$$

大的數和小的數的非正式定義：

• 如果一個數的絕對值是非常大的數，則這個數是大的；
• 如果一個數非常接近于0（但不是真的等于0），則這個數是小的。

當說一個數是“小的”（或者“接近于0”）時，必須結合某個函數或極限的語境來考慮，就像在“大的”情形中一樣。

3.5 關于漸近線的兩個常見誤解

首先，一個函數不一定要在左右兩邊有相同的水平漸近線。

一個函數的確可以有不同的右側和左側水平漸近線，但最多只能有兩條水平漸近線（一條在右側，一條在左側）。它也有可能一條都沒有，或者只有一條。一個函數可以有很多條垂直漸近線。

另一個常見的誤解是，一個函數不可能和它的漸近線相交。

3.6 三明治定理

三明治定理（又稱作夾逼定理）說的是，如果一個函數f被夾在函數g和h之間，當x->a時，這兩個函數g和h都收斂于同一個極限L，那么當x->a時，f也收斂于極限L。

$$如果對于所有在a附近的x都有g(x)\le f(x)\le h(x)，且\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=L，則\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L。$$

3.7 極限的基本類型小結

(1) 在x=a時的右極限，這時在x=a的左側以及x=a處f(x)的行為是無關緊要的。

(2) 在x=a時的左極限，這時在x=a的右側以及x=a處f(x)的行為是無關緊要的。

(3) 在x=a時的雙側極限。

(4) 在x->∞時的極限。

(5) 在x->-∞時的極限。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《普林斯顿微积分读本》笔记-第3章极限导论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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