【数学建模】评价模型
一、層次分析法(AHP)
基本思想：
是定性與定量相結合的多準則決策、評價方法。將決策的有關元素分解成目標層、準則層和方案層，并通過人們的判斷對決策方案的優劣進行排序，在此基礎上進行定性和定量分析。它把人的思維過程層次化、數量化，并用數學為分析、決策、評價、預報和控制提供定量的依據。
基本步驟：
構建層次結構模型；構建成對比較矩陣；層次單排序及一致性檢驗（即判斷主觀構建的成對比較矩陣在整體上是否有較好的一致性）；層次總排序及一致性檢驗（檢驗層次之間的一致性）。
優點：
它完全依靠主觀評價做出方案的優劣排序，所需數據量少，決策花費的時間很短。從整體上看，AHP在復雜決策過程中引入定量分析，并充分利用決策者在兩兩比較中給出的偏好信息進行分析與決策支持，既有效地吸收了定性分析的結果，又發揮了定量分析的優勢，從而使決策過程具有很強的條理性和科學性，特別適合在社會經濟系統的決策分析中使用。
缺點：
用AHP進行決策主觀成分很大。當決策者的判斷過多地受其主觀偏好影響，而產生某種對客觀規律的歪曲時，AHP的結果顯然就靠不住了。
適用范圍：
尤其適合于人的定性判斷起重要作用的、對決策結果難于直接準確計量的場合。要使AHP的決策結論盡可能符合客觀規律，決策者必須對所面臨的問題有比較深入和全面的認識。另外，當遇到因素眾多，規模較大的評價問題時，該模型容易出現問題，它要求評價者對問題的本質、包含的要素及其相互之間的邏輯關系能掌握得十分透徹，否則評價結果就不可靠和準確。
改進方法：
(1)成對比較矩陣可以采用德爾菲法獲得。
(2)如果評價指標個數過多（一般超過9個），利用層次分析法所得到的權重就有一定的偏差，繼而組合評價模型的結果就不再可靠。可以根據評價對象的實際情況和特點，利用一定的方法，將各原始指標分層和歸類，使得每層各類中的指標數少于9個。
二、灰色綜合評價法（灰色關聯度分析）
基本思想：
灰色關聯分析的實質就是，可利用各方案與最優方案之間關聯度大小對評價象進行比較、排序。關聯度越大，說明比較序列與參考序列變化的態勢越一致，反之，變化態勢則相悖。由此可得出評價結果。
基本步驟：
建立原始指標矩陣；確定最優指標序列；進行指標標準化或無量綱化處理；求差序列、最大差和最小差；計算關聯系數；計算關聯度。
優點：
是一種評價具有大量未知信息的系統的有效模型，是定性分析和定量分析相結合的綜合評價模型，該模型可以較好地解決評價指標難以準確量化和統計的問題，可以排除人為因素帶來的影響，使評價結果更加客觀準確。整個計算過程簡單，通俗易懂，易于為人們所掌握;數據不必進行歸一化處理，可用原始數據進行直接計算，可靠性強；評價指標體系可以根據具體情況增減；無需大量樣本，只要有代表性的少量樣本即可。
缺點：
要求樣本數據且具有時間序列特性；只是對評判對象的優劣做出鑒別，并不反映絕對水平，故基于灰色關聯分析綜合評價具有“相對評價”的全部缺點。
適用范圍：
對樣本量沒有嚴格要求，不要求服從任何分布，適合只有少量觀測數據的問題；應用該種方法進行評價時，指標體系及權重分配是一個關鍵的題，選擇的恰當與否直接影響最終評價結果。
改進方法：
(1)采用組合賦權法：根據客觀賦權法和主觀賦權法綜合而得權系數。
(2)結合TOPSIS法：不僅關注序列與正理想序列的關聯度，而且關注序列與負理想序列的關聯度，依據公式計算最后的關聯度。
三、模糊綜合評價法
基本思想：是以模糊數學為基礎，應用模糊關系合成的原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從多個因素對被評價事物隸屬等級（或稱為評語集）狀況進行綜合性評價的一種方法。綜合評判對評判對象的全體，根據所給的條件，給每個對象賦予一個非負實數評判指標，再據此排序擇優。
基本步驟：確定因素集、評語集；構造模糊關系矩陣；確定指標權重；進行模糊合成和做出評價。
優點：
:數學模型簡單，容易掌握，對多因素、多層次的復雜問題評判效果較好。模糊評價模型不僅可對評價對象按綜合分值的大小進行評價和排序，而且還可根據模糊評價集上的值按最大隸屬度原則去評定對象所屬的等級，結果包含的信息量豐富。評判逐對進行，對被評對象有唯一的評價值，不受被評價對象所處對象集合的影響。接近于東方人的思維習慣和描述方法，因此它更適用于對社會經濟系統問題進行評價。
缺點：
并不能解決評價指標間相關造成的評價信息重復問題，隸屬函數的確定還沒有系統的方法，而且合成的算法也有待進一步探討。其評價過程大量運用了人的主觀判斷，由于各因素權重的確定帶有一定的主觀性，因此，總的來說，模糊綜合評判是一種基于主觀信息的綜合評價方法。
應用范圍：
廣泛地應用于經濟管理等領域。綜合評價結果的可靠性和準確性依賴于合理選取因素、因素的權重分配和綜合評價的合成算子等。
改進方法：
(1)采用組合賦權法：根據客觀賦權法和主觀賦權法綜合而得權系數。
四、BP神經網絡綜合評價法
基本思想：
是一種交互式的評價方法，它可以根據用戶期望的輸出不斷修改指標的權值，直到用戶滿意為止。因此，一般來說，人工神經網絡評價方法得到的結果會更符合實際情況。
優點：
神經網絡具有自適應能力，能對多指標綜合評價問題給出一個客觀評價，這對于弱化權重確定中的人為因素是十分有益的。在以前的評價方法中，傳統的權重設計帶有很大的模糊性，同時權重確定中人為因素影響也很大。隨著時間、空間的推移，各指標對其對應題的影響程度也可能發生變化，確定的初始權重不一定符合實際情況。再者，考慮到整個分析評價是一個復雜的非線性大系統，必須建立權重的學習機制，這些方面正是人工神經網絡的優勢所在。針對綜合評價建模過程中變量選取方法的局限性，采用神經網絡原理可對變量進行貢獻分析，進而剔除影響不顯著和不重要的因素，以建立簡化模型，可以避免主觀因素對變量選取的干擾。
缺點：
ANN在應用中遇到的最大問題是不能提供解析表達式，權值不能解釋為一種回歸系數，也不能用來分析因果關系，目前還不能從理論上或從實際出發來解釋ANN的權值的意義。需要大量的訓練樣本，精度不高，應用范圍是有限的。最大的應用障礙是評價算法的復雜性，人們只能借助計算機進行處理，而這方面的商品化軟件還不夠成熟。
適用范圍：
神經網絡評價模型具有自適應能力、可容錯性，能夠處理非線性、非局域性的大型復雜系統。在對學習樣本訓練中，無需考慮輸入因子之間的權系數，ANN通過輸入值與期望值之間的誤差比較，沿原連接權自動地進行調節和適應，因此該方法體現了因子之間的相互作用。
改進方法：
(1)采用組合評價法：對用其它評價方法得出的結果，選取一部分作為訓練樣本，一部分作為待測樣本進行檢驗，如此對神經網絡進行訓練，知道滿足要求為止，可得到更好的效果。
五、數據包絡法(DEA)
通過明確地考慮多種投入（即資源）的運用和多種產出（即服務）的產生，它能夠用來比較提供相似服務的多個服務單位之間的效率，這項技術被稱為數據包絡線分析（DEA）。它避開了計算每項服務的標準成本，因為它可以把多種投入和多種產出轉化為效率比率的分子和分母，而不需要轉換成相同的貨幣單位。因此，用DEA衡量效率可以清晰地說明投入和產出的組合，從而，它比一套經營比率或利潤指標更具有綜合性并且更值得信賴。
DEA是一個線形規劃模型，表示為產出對投入的比率。通過對一個特定單位的效率和一組提供相同服務的類似單位的績效的比較，它試圖使服務單位的效率最大化。在這個過程中，獲得100%效率的一些單位被稱為相對有效率單位，而另外的效率評分低于100%的單位本稱為無效率單位。
這樣，企業管理者就能運用DEA來比較一組服務單位，識別相對無效率單位，衡量無效率的嚴重性，并通過對無效率和有效率單位的比較，發現降低無效率的方法。
DEA線形規劃模型建立如下：
設Ek（k=1，2，……， K）為第k個單位的效率比率，這里K代表評估單位的總數。
設uj（j=1，2，……， M）為第j種產出的系數，這里M代表所考慮的產出種類的總數。變量uj用來衡量產出價值降低一個單位所帶來的相對的效率下降。
設vI（I=1，2，……，N）為第I種投入的系數，這里N代表所考慮的投入種類的綜合素。變量vI用來衡量投入價值降低一個單位帶來的相對的效率下降。
設Ojk為一定時期內由第k個服務單位所創造的第j種產出的觀察到的單位的數量。
設Iik為一定時期內由第k個服務單位所使用的第i種投入的實際的單位的數量。
目標是找出一組伴隨每種產出的系數u和一組伴隨每種投入的系數ν，從而給被評估的服務單位最高的可能效率。
（*）
式中，e是被評估單位的代碼。 這個函數滿足這樣一個約束條件，當同一組投入和產出的系數（uj和vi）用于所有其他對比服務單位時，沒有一個服務單位將超過100%的效率或超過1.0的比率。
（**）
k=1,2,……,K
式中所有系數值都是正的且非零。
為了用標準線性規劃軟件求解這個有分數的線性規劃，需要進行變形。要注意，目標函數和所有約束條件都是比率而不是線性函數。通過把所評估單位的投入人為地調整為總和1.0，這樣等式（*）的目標函數可以重新表述為：
滿足以下約束條件：
對于個服務單位，等式（**）的約束條件可類似轉化為：
k=1,2,…,K
式中 uj≥0 j=1，2，…，M vi≥0 i=1，2，…，N
關于服務單位的樣本數量問題是由在分析種比較所挑選的投入和產出變量的數量所決定的。下列關系式把分析中所使用的服務單位數量K和所考慮的投入種類數N與產出種類數M聯系出來，它是基于實證發現和DEA實踐的經驗。
六、組合評價法
首先闡述問題，包括識別突出的屬性以及規定這些屬性的水平。用這些屬性的水平構造組合，以突出刺激因素，供被調查者作評價。被調查者利用適當的量表給這些組合形式評分或排序，然后對這些數據進行分析。最后解釋分析的結果并評價其信度和效度。
（1）確認問題的屬性和水平
研究者必須首先識別并確定構造該研究問題的重要刺激因素，即所謂屬性。該屬性應該是影響消費者喜好的突出屬性，例如，在選擇汽車品牌時，價格、排量、油耗、車內空間等等比較敏感。從經濟管理的角度說，屬性和屬性的水平應該都是可操作的。你必須用精力所能控制的屬性來定義、識別和確定屬性，典型的組合分析一般可以涉及6-7個屬性（也可以叫做變量）。
確定了突出的屬性之后就是選擇水平。為減輕被調查者的負擔，同時又使參數估計保證一定的精度，需要認真考慮屬性水平的個數。
（2）構成組合形式
屬性及水平用于構成組合形式，以突出激勵因素。構成組合形式的方法主要有配對法和全輪廓法。
配對法也叫雙因子評價，一般采用循環設計來減少配比比較的個數。
全輪廓法也叫多因子評價，常常借助由于正交表進行設計。
（3）決定輸入數據的形式
輸入數據主要有兩種形式：排序或評分。排序法是要對刺激因素集合中的所有屬性水平作相對的評價，要求對每個組合給出一個不同的等級（秩）。評分法是要對每一個組合獨立地進行評價。有人認為評分法更加便于被調查者作評價，所得的數據也比排序法更易于分析。近年來評分法用得更為普遍。
（4）選擇組合分析的具體方法
基本的組合分析模型可以用下面的公式表示：
m ki
U（X）=∑ ∑aij xi
j=i j=i
其中，U（X）代表方案的總效用等
aij代表第i個屬性（i,i=1,2,……m）的第j個水平的分值貢獻或者效用。
ki代表屬性的水平個數
m代表屬性個數
xij=l 如果第i個屬性的第j個水平出現
xij=0 其他
屬性的重要性定義為該屬性水平的最大分值與最小分值之差：
Li={max(aij)-min(aij)}
對每個i屬性的重要性是經標準化的數字處理。經此表示其對別的屬性的重要性。
（5）解釋結果
為了更直觀地解釋結果，一般借助于分值（效用）函數的圖形，將每個屬性的分值函數作圖。
（6) 評估信度和效度
評價組合分析結果的信度和效度，有多種方法，常用的有：
1.評價估計模型的擬合優度；
2.用檢驗-再檢驗法來評價信度；
3.用估計出來的分值函數作為評價的預測值，計算該預測值與被調查的實際評估值之間的相關，用以確定內部效度；
4.如果數據是按集合進行分析的，那么可以將樣本分別分割成幾個部分，再對每個子樣本實施組合分析。比較這些子樣本的結果就可以評價組合分析的解的穩定性。
優點
組合分析的主要優點就是為新產品或各種市場營銷方案提供決策的參考信息。
總結
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