一、題目

如何確定視頻的拍攝地點和拍攝日期是視頻數據分析的重要方面，太陽影子定位技術就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點和日期的一種方法。
1.建立影子長度變化的數學模型，分析影子長度關于各個參數的變化規律，并應用你們建立的模型畫出2015年10月22日北京時間9:00-15:00之間天安門廣場（北緯39度54分26秒,東經116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線。
2.根據某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數據，建立數學模型確定直桿所處的地點。將你們的模型應用于附件1的影子頂點坐標數據，給出若干個可能的地點。
3. 根據某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數據，建立數學模型確定直桿所處的地點和日期。將你們的模型分別應用于附件2和附件3的影子頂點坐標數據，給出若干個可能的地點與日期。
4．附件4為一根直桿在太陽下的影子變化的視頻，并且已通過某種方式估計出直桿的高度為2米。請建立確定視頻拍攝地點的數學模型，并應用你們的模型給出若干個可能的拍攝地點。
如果拍攝日期未知，你能否根據視頻確定出拍攝地點與日期？

二、問題解答

1、第一問

5.1 問題一模型的建立與求解

影子是一種光學現象，影子長度由各個因素共同決定，我們通過確定各參數對影子長度的影響，從而建立影長模型。

5.1.1 影長模型

我們將實際影長、物體高度與太陽三者關系抽象為圖1的幾何模型，設太陽高度角為 $\alpha$，直桿高度為 $l$，影長為$l_s$ ，則有幾何關系： $$l=l_s\cot \alpha$$

由于物體高度是固定的，因此影長與太陽高度角有關，接下來我們分析太陽高度角，建立太陽高度角的具體模型。

太陽高度角模型
太陽高度角是指某地太陽光線與通過該地與地心相連的地表切面的夾角[1]，如圖2所示，查閱資料，太陽高度角計算公式如下：

其中， 為所在地緯度， 為太陽赤緯夾角， 為太陽時角。
因此，太陽高度角與緯度，太陽赤緯夾角和太陽時角有關，由于某地的經緯度是確定的，下面我們從赤緯夾角和太陽時角進行分析。

圖2：太陽高度角示意圖 太陽赤緯夾角 赤緯角是由于地球繞太陽運行造成的現象，它隨時間而變，因為地軸方向不變，所以赤緯角隨地球在運行軌道上的不同點具有不同的數值。赤緯角以年為周期，在+23 °26′與-23 °26′的范圍內移動，成為季節的標志[2]，如圖3所示。 

圖3：太陽赤緯夾角
查閱相關資料結合赤緯角定義可知，太陽赤緯夾角與時間有關且以年為周期，計算公式為：

其中， 為弧度制， 表示天數，即一年中的第幾天，認為1月1日， ，12月31日， 。
太陽時角
太陽時角是指日面中心的時角，即從觀測點天球子午圈沿天赤道量至太陽所在時圈的角距離[3]。在地球上，同一時刻，對同一經度，不同緯度的人來說，太陽對應的時角是相同的。單位時間地球自轉的角度定義為時角 ，規定正午時角為0，上午時角為負值，下午時角為正值。地球自轉一周360度，對應的時間為24小時，即每小時相應的時角為15度。查閱資料可知，太陽時角的計算公式為

其中， 為太陽時， 為弧度制。
在中國地區，各地時間均用的是北京時間，而北京時間為北京時間是東經120度經線的地方平太陽時，由于中國地域寬廣，東西跨經度范圍大，分析太陽高度角時我們需采用地方時。根據查閱天文資料，從天文學上說，時間分為真太陽時和平太陽時，在中國，平太陽時即為北京時間，而真太陽時=北京時間+時差，因此，太陽時 的計算公式為

其中， 表示所在地的標準時間，我國為北京時間， 表示所在地的經度，若所在地經度為東經則 ，若所在地經度為西經，則 ， 為制定標準時間地區的地理經度，中國為 ， 表示太陽公轉引起的太陽時 和鐘表時 之間的修正值，以分為單位，查閱資料其計算公式如下：

其中，
綜合上述公式可知，影長模型如下：

其中，

為北京時間， 為 ， 表示所在地的經度， 表示所在地緯度。
5.1.2 影子長度關于各個參數的變化規律
由模型一可知，影長由太陽高度角決定，而太陽高度角由桿高、時間和所在地經緯度決定，由此我們采用控制變量法，分別分析這三個參數與影長的關系。
（1） 固定經度為 ，緯度為 ,時間為2015年10月22日，自變量為桿的高度，因變量為影長，二者關系圖如下：

圖4：直桿高度與影長關系圖

當時間和經緯度均固定時，隨著桿高度的增加，影長隨之不斷增加。
（2） 固定桿的高度為3米，經度為 ，緯度為 ，自變量為時間，以月為單位變化，因變量為影長，二者關系如圖：

圖5：時間與影長關系圖
當桿高和經緯度均固定時，隨著時間的增加，影長呈現先減少后增加的趨勢，并在6、7月中間達到最小值，此時應為夏至日。
（3） 固定固定桿的高度為3米，時間為2015年10月22日，經度為 ，自變量為時間，以月為單位變化，因變量為影長，二者關系如圖：

圖6：所在地緯度與影長關系圖
當桿高、時間和所在地經度均固定時，在北半球，隨著緯度的增加，影長隨之增加，由于地球的對稱性，南半球同理成立。
（4） 固定固定桿的高度為3米，時間為2015年10月22日，緯度為 ，
自變量為經度，因變量為影長，二者關系如圖：

圖7：所在地經度與影長關系圖
當桿高、時間和所在地緯度均固定時，在東半球，隨著經度的增加，影長呈現先減少后增加的趨勢，且影長最小值在 附近。
5.1.3 問題一的求解
問題一重述：通過模型一畫出2015年10月22日北京時間9:00-15:00之間天安門廣場（北緯39度54分26秒,東經116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線，因此有

代入影長模型，利用MATLAB可繪制出太陽高度角和太陽影子長度的變化曲線分別如下圖所示，

圖8：時間與太陽高度角變化曲線 圖9：時間與影長變化曲線
在2015年10月22日北京天安門廣場，北京時間從9:00開始一直增加到15:00結束，當直桿高度固定為3米時，影子的長度先減少后增加，且最大長度不超過7米，最小長度大于3.5米，影長達到最小長度時，北京時間為12:00，通過太陽高度角與影長關系圖可分析知，此時太陽高度角最大，因而影長最短。對比兩圖可以發現，太陽高度角的變化與影長的變化正好相反。
5.1.4 誤差分析
我們利用模型一計算出理論太陽高度角 ，通過軟件stellarium中實際測量出的太陽高度角數據 與理論計算出的數據進行對比，并計算誤差 ，測量時間為2015年10月22日，測量地點為北緯39度54分26秒,東經116度23分29秒，部分結果如下：

表1：太陽高度角誤差分析

北京時間9:0010:0011:0012:0013:0014:0015:00

理論值	24.4514	32.1941	37.3778	39.1747	37.2264	31.9186	24.0872
實際值	23.5471	31.1730	36.2500	37.9899	36.0596	30.8273	23.0908
相對誤差	0.9043	0.0317	0.0302	0.0302	0.0313	0.0342	0.0414

相對誤差散點分布圖如下：

圖10：太陽高度角相對誤差散點圖
計算相對誤差限為0.0414，平均誤差為0.0327，故我們可以認為模型誤差相當小，從而我們在模型中求出的太陽高度角所作的計算是合理的，因此模型中影長的計算是準確有效的。

5.2 問題二模型的建立與求解

太陽影子定位技術是通過分析物體影子變化，確定拍攝地點及拍攝日期的技術，本題通過附件1中所給出日期與影子頂點坐標，反推確定直桿所在地點。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模2015A题（太阳影子定位）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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