撓曲線方程

這種用每一個載荷單獨作用下梁產生的變形的代數和來代替梁同時受幾個載荷共同作用下產生的總變形的方法，我們就稱其為疊加法。在用疊加法求梁的變形時，每一個載荷單獨作用下產生變形可從本書附錄中查到。 二.舉例： 例7-4.圖示一簡支梁受均布載荷及集中力偶作用，試用疊加法求梁跨中點處的撓度和支座處的轉角。 A B (1)首先將梁上的載荷分成兩種，如下圖，并由附錄中查得它們單獨作用下，跨中處的撓度和支座處的轉角為： 解： A B A B (2).進行代數相加，求得： 例7-5.圖示，一受載荷的懸臂梁，求自由端A點處的撓度和轉角 解： 在分析這種梁的時候，我們把它分成兩段來考慮： 由附錄中，我們可查得： 由CA段上無載荷，CA段又是自由端，所以CA段梁變形后仍保持直桿，如圖所示，由桿件的變形連續條件可知： 圖示，一懸臂梁受集中力作用，試用疊加法求自由端A點處的撓度和轉角 思考題 目錄 §7-4 簡單靜不定梁的解法 .概述 對于靜不定梁，一般的解決辦法有三種：疊加法，能量法，力法，其中的能量法和力法我們將在以后的幾章中介紹，現在我們就用疊加法來解靜不定梁。 二.方法： (2).根據解除約束處的原來約束性質，即變形特點，列出變形關 系。 (1).首先將多余約束解除，代之以支座反力，從而使靜不定結構 成為靜定結構。 (3).利用物理關系得出補充方程 (4).聯立求解補充方程與靜力平衡關系 三.舉例： 例7-10.圖示超靜定梁上作用均布載荷，集度為q，試求其支座反力并繪出該梁的內力圖。 (1).由附表可查得： (2).變形相容條件： 得： (a) (b) (c) (3).將(a)(b)代入(c)得： 目錄 * 本章要點 (1)梁繞曲線近似微分方程 (2)疊加法求梁變形 (3)簡單靜不定梁的求解 重要概念 撓度、轉角、邊界條件、連續性條件、變形比較法 §7-1 概 述 目錄 §7-2 梁的撓曲線近似微分方程用其積分 §7-3 用疊加法求梁的變形 §7-4 簡單靜不定梁的解法 §7-5 梁的剛度校核及提高梁的剛度措施 §7-6 梁內的彎曲應變能 §7-1 概述 *在上一章中，我們對各種截面梁中橫截面上的應力，作了比較詳盡的介紹和分析，但是，對一根梁來說，它是不是只要滿足了應力要求，即強度條件，就能夠使得整個構件正常，安全的工作呢？為了回答這個問題，下面我們先看一看幾個簡單的例子： 齒輪軸彎曲變形過大，就要影響齒輪的正常嚙合，加速齒輪的磨損，產生較大的噪音。 齒輪軸彎曲 吊車梁若變形過大，一方面會使吊車在行駛過程中發生較大的振動，另一方面使得吊車出現下坡和爬坡現象。 吊車梁變形 從上面兩個例子我們可看出：梁即使滿足了強度條件，若變形過大的話，它仍然不能夠正常安全的工作。由此，我們可以得出：要使梁正常安全的工作，一方面梁不僅要滿足強度條件，另一方面梁還必須滿足一定的變形條件。只有在這兩方面同時得到滿足的條件下，整個構件才能正常安全工作。 * 第九章的內容就告訴了我們上面所提到的梁所必須滿足的變形條件以及計算這種彎曲變形的方法，下面我們首先來看幾個基本概念： 舉例：如圖所示：取梁變形前的軸線為x 軸，與 x 軸垂直的為y 軸。彎曲變形后，在 xy 平面內，AB——弧AC1B，撓曲線——平面曲線AC1B。 A B F ? ? C1 x y x 1．撓度——梁的軸線上某一個點在垂直于x軸的方向(y方向)所發生的位移。 2．轉角——梁上某一橫截面在梁發生變形后，繞其中性軸轉動的角度 ，就稱為該橫截面的轉角。 3．撓曲線方程——從圖中我們可以看出：梁的軸線上每一點的撓度y是隨著點的位置x的改變而變化的，因此它是x的函數, 即： ——撓曲線方程 4．轉角方程——由截面的平面假設可知：變形前垂直于軸線的橫截面，變形后仍垂直于撓曲線，故，當我們通過撓曲線上任意一點C1作切線時，它與水平線的夾角 點所在 橫截面的轉角 ，于是： 顯然等于C1 任一點的斜率與轉角之間的關系為： 撓曲線： 物理意義： 反應了撓度與轉角之間的關系，即撓曲線上任意一點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉角。 由于： 極其微小 ——轉角方程 結論：由轉角方程我們可看出：梁上某點處橫截面的轉角等于 在該點處的大小。研究梁的變形的關鍵在于提出 撓曲線方程 撓度：向下的撓度為正，向上的撓度為負 轉角：順時針的轉向為正，逆時針的轉向為負 5．撓度，轉角的正負號規定： 目錄 §7-2 梁的撓曲線近似微分方程用其積分 .撓曲線近似微分方程(的推導) 在上一章，討論純彎曲變形時，得出：梁純彎曲時軸線的曲率為： (a)

總結

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