復(fù)變函數(shù)與積分變換

• 第一章：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
• • 復(fù)數(shù)
  • • • 復(fù)數(shù)的基本概念
      • 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
      • 復(fù)平面
  • 復(fù)數(shù)的三角表示
  • • • 復(fù)數(shù)的模與輻角
      • 復(fù)數(shù)模的三角不等式
      • 復(fù)數(shù)的三角表示
      • 復(fù)數(shù)的三角表示作乘除法
      • 復(fù)數(shù)的乘方與開方
  • 平面點(diǎn)集
  • • • 開集與閉集
      • 區(qū)域
      • 平面曲線
  • 無窮大與復(fù)球面
  • 復(fù)變函數(shù)
  • • • 概念
      • 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性
      • 連續(xù)
  • 小結(jié)
• 第二章：解析函數(shù)
• • 解析函數(shù)的概念
  • • • 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
      • 解析函數(shù)的概念與求導(dǎo)法則
      • 柯西-黎曼方程（C-R方程）
  • 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系
  • • • 調(diào)和函數(shù)的概念
      • 共軛函數(shù)函數(shù)
  • 初等函數(shù)
• 第三章：復(fù)變函數(shù)的積分
• • 復(fù)積分的概念
  • • • 復(fù)積分的定義
      • 復(fù)積分的基本性質(zhì)
      • 復(fù)積分的計(jì)算
  • 柯西積分定理
  • • • 柯西基本定理
      • 閉路變形定理
      • 復(fù)合閉路定理
      • 路徑無關(guān)性
      • 原函數(shù)
  • 柯西積分公式
  • • • 柯西積分公式
  • 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)
  • • • 高階導(dǎo)數(shù)定理
• 第四章：解析函數(shù)的級數(shù)表示
• • 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)
  • • • 復(fù)數(shù)序列
      • 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)
  • 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)
  • • • 基本概念
      • 冪級數(shù)
      • 冪級數(shù)的性質(zhì)
  • 泰勒級數(shù)
  • • • 泰勒定理
      • 將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法
  • 洛朗級數(shù)
  • • • 含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級數(shù)”
      • 洛朗定理
      • 將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法
• 第五章：留數(shù)及其應(yīng)用
• • 孤立奇點(diǎn)
  • • • 引言
      • 零點(diǎn)
      • 孤立奇點(diǎn)
      • 孤立奇點(diǎn)的分類
      • 如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類
      • 如何判斷極點(diǎn)的階數(shù)
  • 留數(shù)
  • • • 留數(shù)的概念
      • 留數(shù)的計(jì)算方法
      • 留數(shù)定理
• 第八章：傅里葉變換
• • 傅里葉變換的概念
  • • • 非周期函數(shù)的傅里葉變換
  • 單位沖激函數(shù)
  • • • 為什么要引入單位沖激函數(shù)
      • 單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)
      • 單位沖激函數(shù)的傅里葉變換
      • 周期函數(shù)的傅里葉變換
  • 傅里葉變換的性質(zhì)
  • • • 基本性質(zhì)
      • 卷積與卷積定理

第一章：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)的基本概念

復(fù)數(shù)：z=x+iy （x,y是任意實(shí)數(shù)，稱為實(shí)部和虛部）
Re z = x, Im z = y.
實(shí)數(shù)：z=x
純虛數(shù)：z=iy
相等：當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2且y1=y2
共軛復(fù)數(shù)：$\overline{z}$=x-iy

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

加法：$z_1$-$z_2$=($x_1$-$x_2$)+i($y_1$+$y_2$)
乘法：$z_1$*$z_2$=（$x_1$$x_2$-$y_1$$y_2$)+i($x_1$$y_2$+$x_2$$y_1$)
分母有理化：$\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}$
共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：
$\overline{z_1+z_2}$=$\overline{z_1}$ + $\overline{z_2}$

$\overline{z_1?z_2}$=$\overline{z_1}$ * $\overline{z_2}$

$\overline{\frac{z_1}{z_2}}$=$\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$($\overline{z_2}=0$)

z$\overline{z}$=x²+y²=(Re z)² + (Im z)²

Re z=$\frac{1}{2}$(z+$\overline{z}$) ，Im z=$\frac{1}{2i}$(z-$\overline{z}$)

例：
設(shè)$z_1$,$z_2$是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：2Re($z_1$$\overline{z_2}$)=$z_1$$\overline{z_2}$+$\overline{z_1}{z}_2$
證：
利用公式：Re z=$\frac{1}{2}$(z+$\overline{z}$)
2Re($z_1$$\overline{z_2}$)=$z_1$$\overline{z_2}$+$\overline{z_1\overline{z_2}}$

復(fù)平面

橫軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，縱軸上的點(diǎn)表示純虛數(shù)
一個(gè)復(fù)數(shù) z=z+iy 與一個(gè)有序?qū)崝?shù)對（x,y) 一 一對應(yīng)

復(fù)數(shù)的三角表示

復(fù)數(shù)的模與輻角

向量的長度（模）：|z|
輻角：Arg z
主輻角：arg z （-π，π】
Arg z=arg z + 2kπ

|z| = |$\overline{z}$|
arg $\overline{z}$ = -arg z
|z|² = z$\overline{z}$

$argz?\begin{array}{ll}arctan\frac{y}{x},& 第一四象限\\ arctan\frac{y}{x}+\pi & 第二象限\\ arctan\frac{y}{x}?\pi & 第三象限\end{array}$

復(fù)數(shù)模的三角不等式

||$z_1$| - |$z_2$|| $\le$ |$z_1$ - $z_2$| $\le$ |$z_1$| + |$z_2$|
||$z_1$| - |$z_2$|| $\le$ |$z_1$ + $z_2$| $\le$ |$z_1$| + |$z_2$|

證：
|$z_1$ + $z_2$|²
= ($z_1$ + $z_2$)($\overline{z_1}$ + $\overline{z_2}$)
=$z_1$$\overline{z_1}$ + $z_2$$\overline{z_2}$ + $z_1$$\overline{z_2}$ + $z_2$$\overline{z_1}$
=|$z_1$|² + |$z_2$|² + 2Re($z_1$$\overline{z_2}$)
又因?yàn)?br /> | Re($z_1$$\overline{z_2}$) | $\le$ | $z_1$$\overline{z_2}$ |=|$z_1$||$\overline{z_2}$|=|$z_1$||$z_2$|
所以
|$z_1$ + $z_2$|² $\le$ |$z_1$|² + |$z_2$|² + 2|$z_1$||$z_2$|=(|$z_1$| + |$z_2$|)²
以及
|$z_1$ + $z_2$|² $\ge$ |$z_1$|² + |$z_2$|² - 2|$z_1$||$z_2$|=(|$z_1$| - |$z_2$||²

復(fù)數(shù)的三角表示

z = r(cosθ + i sinθ)
r=|z| , θ=Arg z;

例：設(shè)z = r(cosθ + i sinθ).求$\frac{1}{z}$的三角表示
解：
$\frac{1}{z}$=$\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$
|z| = r, $\overline{z}$=r(cosθ - i sinθ)
$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{r}$(cosθ - i sinθ)=$\frac{1}{r}$[cos(-θ) + i sin(-θ)]

復(fù)數(shù)的三角表示作乘除法

$z_1$$z_2$ = $r_1$$r_2$[cos$({\theta }_1+{\theta }_2)$ + sin$({\theta }_1+{\theta }_2)$]
|$z_1$$z_2$|=$r_1$$r_2$=|$z_1$||$z_2$|
Arg($z_1$*$z_2$) = ${\theta }_1+{\theta }_2$ +2kπ = Arg $z_1$ +Arg $z_2$

$\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{r_1}{r_2}$[cos$({\theta }_1?{\theta }_2)$ + sin$({\theta }_1?{\theta }_2)$]
|$\frac{z_1}{z_2}$|=$\frac{|z_1|}{|z_2|}$
Arg$\frac{z_1}{z_2}$= Arg $z_1$ - Arg $z_2$

arctanx + arctan$\frac{1}{x}$ = $\frac{\pi }{2}$
arctanx是奇函數(shù)

復(fù)數(shù)的乘方與開方

z²= r²(cosnθ + i sinnθ)
棣莫弗公式：(cosθ + i sinθ)² = (cosnθ + i sinnθ)

wⁿ=z
w=$r^{\frac{1}{n}}$[cos($\frac{1}{n}$(θ+2kπ)) + i (cos($\frac{1}{n}$(θ+2kπ))]
任意一個(gè)不為0的復(fù)數(shù)開n次方有n個(gè)值（根），在復(fù)平面上這n個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)以原點(diǎn)為中心的正n邊形的頂點(diǎn)，它們同原點(diǎn)的距離為$|z{|}^{\frac{1}{n}}$, 其中一個(gè)點(diǎn)的輻角是$\frac{1}{n}$arg z

例：求解方程z³-2=0;
解：
z³=2
z=$2^{\frac{1}{3}}$
z=$[2(cos0+isin0){]}^{\frac{1}{3}}$=$\sqrt[3]{2}$(cos$\frac{2k\pi }{3}$ + i sin$\frac{2k\pi }{3}$)
k=0,1,2,其他情況重復(fù)
所以方程有三個(gè)解$\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[3]{2}$（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}i}{2}$),$\sqrt[3]{2}$（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}i}{2}$)

平面點(diǎn)集

開集與閉集

鄰域

區(qū)域

平面曲線

1、方程式

2、參數(shù)式

曲線的分類

無窮大與復(fù)球面

復(fù)變函數(shù)

概念

復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性

極限存在的充要條件

連續(xù)

小結(jié)

第二章：解析函數(shù)

解析函數(shù)的概念

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解析函數(shù)的概念與求導(dǎo)法則

柯西-黎曼方程（C-R方程）

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

調(diào)和函數(shù)的概念

共軛函數(shù)函數(shù)

初等函數(shù)

第三章：復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)積分的概念

復(fù)積分的定義

復(fù)積分的基本性質(zhì)

復(fù)積分的計(jì)算

柯西積分定理

柯西基本定理

閉路變形定理

復(fù)合閉路定理

路徑無關(guān)性

原函數(shù)

柯西積分公式

柯西積分公式

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

高階導(dǎo)數(shù)定理

第四章：解析函數(shù)的級數(shù)表示

復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)

復(fù)數(shù)序列

復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)

復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

基本概念

冪級數(shù)

冪級數(shù)的性質(zhì)

泰勒級數(shù)

泰勒定理

將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法

洛朗級數(shù)

含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級數(shù)”

洛朗定理

將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法

第五章：留數(shù)及其應(yīng)用

孤立奇點(diǎn)

引言

零點(diǎn)

孤立奇點(diǎn)

孤立奇點(diǎn)的分類

如何進(jìn)行孤立奇點(diǎn)的分類

如何判斷極點(diǎn)的階數(shù)

留數(shù)

留數(shù)的概念

留數(shù)的計(jì)算方法

留數(shù)定理

第八章：傅里葉變換

傅里葉變換的概念

非周期函數(shù)的傅里葉變換

單位沖激函數(shù)

為什么要引入單位沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)的概念及性質(zhì)

單位沖激函數(shù)的傅里葉變換

周期函數(shù)的傅里葉變換

傅里葉變換的性質(zhì)

基本性質(zhì)

卷積與卷積定理

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的复变函数与积分变换小结的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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