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近世代数——Part2 群：基础与子群

發(fā)布時(shí)間：2023/12/10 编程问答 37 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了近世代数——Part2 群：基础与子群小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

文章目錄

群介紹
- 正方形的對(duì)稱(chēng)性
- 二面體群
群定義和性質(zhì)
- 二元操作
- 群定義
- - 例子
- 群性質(zhì)
- - Theorem 2.1 群?jiǎn)挝辉ㄒ?/li>
  - Theorem 2.2 消去律
  - Theorem 2.3 群逆元唯一
  - 一些簡(jiǎn)寫(xiě)
  - Theorem 2.4 Socks-Shoes property
有限群和子群
- 常用記號(hào)和定義
- - 階
  - 子群
- 子群檢驗(yàn)方法
- - Theorem 3.1 One-Step Subgroup Test
  - Theorem 3.2 Two-Step Subgroup Test
  - - 一個(gè)重要例子——一種子群生成方式
  - Theorem 3.3 Finite Subgroup Test
- 一些重要子群
- - Theorem 3.4 $?a?\langle a\rangle$ 是子群
  - 群的中心（Center of a Group）
  - 群中心化子（Centralizer of $a$ in $G$ ）

群介紹

正方形的對(duì)稱(chēng)性

考慮這樣一個(gè)問(wèn)題，以某些方式移動(dòng)一個(gè)正方形，最終使這個(gè)正方形與初始對(duì)比看不出變化，為實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的，我們對(duì)正方形可以做哪些凈作用(net effect)？
很明顯，我們可以總結(jié)出八種移動(dòng)方式：

$R_0$ ，繞中心旋轉(zhuǎn) $0$ 度
$R_{90}$ ，繞中心旋轉(zhuǎn) $90$ 度
$R_{180}$ ，繞中心旋轉(zhuǎn) $180$ 度
$R_{270}$ ，繞中心旋轉(zhuǎn) $270$ 度
$H$ ，沿水平對(duì)稱(chēng)軸翻轉(zhuǎn)
$V$ ，沿垂直對(duì)稱(chēng)軸翻轉(zhuǎn)
$D$ ，沿主對(duì)角線(xiàn)翻轉(zhuǎn)
$D^{'}$ ，沿次對(duì)角線(xiàn)翻轉(zhuǎn)

仔細(xì)思考可以發(fā)現(xiàn)，這 $8$ 種運(yùn)動(dòng)中，某些運(yùn)動(dòng)可以看作其他運(yùn)動(dòng)的依次作用的結(jié)果，如 $D=HR_{90}$ ，先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，再水平翻轉(zhuǎn)，等價(jià)于沿主對(duì)角線(xiàn)翻轉(zhuǎn)。
我們將這 $8$ 種運(yùn)動(dòng)以及所有他們的復(fù)合的集合，構(gòu)成一種新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，叫做 $8$ 階二面體群(dihedral group of order 8)，記為： $D_4$

接下來(lái)可以以 $D_4$ 群為例，觀察一下群的性質(zhì)。

觀察一下群元素復(fù)合的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)所有復(fù)合的結(jié)構(gòu)仍屬于那

8

種運(yùn)動(dòng)，代數(shù)上來(lái)說(shuō)，就是這個(gè)群存在這樣的性質(zhì)，

A,B∈D4→AB∈D4A,B\in D_4\to AB\in D_4

，這叫做封閉性。

可以注意到，任何運(yùn)動(dòng)

M

以任何先后順序與

R_0

復(fù)合，結(jié)果都是

M

，即

MR_0=R_0M=M

，即對(duì)于復(fù)合這種運(yùn)算，群里存在單位元。

對(duì)任何元素

A∈D4A\in D_4

，總存在

B∈D4B\in D_4

，使得

AB=R_0

，可畫(huà)出Cayley表驗(yàn)證，這個(gè)性質(zhì)叫做逆元存在。

注意到，讓群中所有元素，與一個(gè)固定的元素復(fù)合，結(jié)果集合也會(huì)包含所有群元素。

注意到，有些復(fù)合順序反過(guò)來(lái)也相等，而有些不相等，如

R90R180=R180R90,HD≠DHR_{90}R_{180}=R_{180}R_{90}, HD\neq DH

有種不顯眼的性質(zhì)，即結(jié)合律，這個(gè)怎么驗(yàn)證呢？實(shí)際上將群操作看作一個(gè)函數(shù)，函數(shù)滿(mǎn)足結(jié)合律，那群元也滿(mǎn)足

二面體群

相同的分析也可以作用于正三角形，正五邊形等，我們將正多邊形的對(duì)稱(chēng)群歸納為二面體群，具體的 $D_n$ 叫做dihedral group of order $2 n$ ，表示正 $n$ 邊（角）形的對(duì)稱(chēng)性。

群定義和性質(zhì)

二元操作

Let $G$ be a set. A binary operation on $G$ is a function that assigns each ordered pair of elements of $G$ an element of $G$ .

這個(gè)定義給出了一個(gè)函數(shù) $f:G×G→Gf:G\times G\to G$ ，實(shí)際上是定義了一種封閉的乘法。

群定義

Let $G$ be a set together with a binary operation (multiplication) that assigns to each ordered pair $(a, b)$ of elements of $G$ an element in $G$ denoted by $a b$ . We say $G$ is a group under this operation if the following three properties are satisfied.

Associativity. 結(jié)合律
Identity. 單元元
Inverses. 逆元

簡(jiǎn)而言之，群就是一個(gè)定義了封閉乘法的集合，且滿(mǎn)足結(jié)合律，單位元和逆元存在性。

例子

整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)加法群
${1,-1,i,-i\}$ 在復(fù)數(shù)乘法下構(gòu)成群
正有理數(shù)乘法群
同階矩陣加法群
模 $n$ 加法群： $Z_n=\{0,1,...,n-1\}$
非零實(shí)數(shù)乘法群
一般線(xiàn)性群： $G L (n, R)$ ，其實(shí)是實(shí) $n$ 階可逆矩陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群
互質(zhì)模 $n$ 乘法群： $U(n)={i∣i<n∧gcd?(i,n)=1}U(n)=\{i\mid i<n\ \land\ \gcd (i,n)=1\}$ ，即與 $n$ 互質(zhì)的更小的數(shù)組成的群，在模 $n$ 乘法下構(gòu)成群。簡(jiǎn)單驗(yàn)證一下：
首先封閉性，根據(jù)上一節(jié)的課后19題，如果 $gcd?(a,n)=gcd?(b,n)=1,?a,b∈U(n)\gcd (a,n)=\gcd (b,n)=1,\forall a,b\in U(n)$ ，那么必有 $gcd?(ab,n)=1\gcd (ab,n)=1$ ，那么 $ab\mod{n}$ 必然與 $n$ 互質(zhì)，只要用上節(jié)的Theorem 0.1拆開(kāi)，并用Theorem 0.2驗(yàn)證即可。
然后，單位元必然是 $1$
最后， $?a∈U(n)\forall a\in U(n)$ ，逆元存在嗎？即可否找到 $a′∈U(n),suchthataa′modn=1a'\in U(n), \mathrm{such\ that}\ aa'\mod{n}=1$ ，由于 $a s + n t = 1$ ，顯然 $s≠0s\neq 0$ ，如果 $s > 0$ ， $s$ 即是 $a^{'}$ ；如果 $s < 0$ ，那么 $a^{'} = n + s$ ，因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline"> $(n + s) a + n (t ? a) = 1$ ，故逆元存在
復(fù)數(shù)加法群，非零復(fù)數(shù)乘法群
單位復(fù)根在復(fù)數(shù)乘法下構(gòu)成群： ${e2kπn∣k=0,1,2,?,n?1}\{e^{\frac{2k\pi}{n}} |k=0,1,2,\cdots ,n-1\}$ ，它們是 $x^n=1$ 的解
同緯向量在向量加法下構(gòu)成群
特殊線(xiàn)性群： $S L (n, R)$ ，是行列式為1的矩陣在矩陣乘法下構(gòu)成的群

群性質(zhì)

Theorem 2.1 群?jiǎn)挝辉ㄒ?/h3>
很明顯，假定有兩個(gè)單位元 $e, e^{'}$ ， $e = e e^{'} = e^{'}$

Theorem 2.2 消去律

群滿(mǎn)足左右消去律，即 $ba=ca→b=c,ab=ac→b=cba=ca\to b=c, ab=ac\to b=c$

用逆元左乘或右乘即可。

Theorem 2.3 群逆元唯一

假設(shè) $b ， c$ 都是 $a$ 的逆，那么 $e = a b = a c$ ，根據(jù)消去律 $b = c$

一些簡(jiǎn)寫(xiě)

$a^{-1}$ ： $a$ 的逆
$a^n$ ： $n$ 個(gè) $a$ 相乘

Theorem 2.4 Socks-Shoes property

即取乘積的逆時(shí)，元素要翻轉(zhuǎn): $ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

有限群和子群

常用記號(hào)和定義

階

有兩種：群的階和元素的階，對(duì)于群 $G$ ，群元素 $g$ 來(lái)說(shuō)，兩者分別記為 $∣ G ∣$ 和 $∣ g ∣$ 。群的階指群元素的數(shù)量；元素的階指的是滿(mǎn)足 $g^n=e$ 的最小正整數(shù) $n$ （如果 $g$ 的任何次冪都不等于 $e$ ，那么說(shuō)它的階是無(wú)窮）。

子群

群 $G$ 的子集 $H$ 是它的子群，說(shuō)的是 $H$ 在 $G$ 定義的二元操作下，構(gòu)成一個(gè)群。記為 $H≤GH\le G$ 。

子群檢驗(yàn)方法

群的子集，自然帶有群的一些特性，定義了二元操作，以及它們滿(mǎn)足結(jié)合律是肯定的，所以判斷子集是群可不必按照定義來(lái)一步步確認(rèn)，只需要說(shuō)明在群的二元操作下，滿(mǎn)足：封閉性；逆元；單位元即可。以下有幾種典型的方法。

Theorem 3.1 One-Step Subgroup Test

$G$ 是一個(gè)群， $H$ 是 $G$ 的一個(gè)非空子集，如果： $?a,b∈H,ab?1∈H\forall a,b\in H, ab^{-1}\in H$ ，那么 $H≤GH\le G$

證明：因?yàn)?span id="ze8trgl8bvbq" class="katex--inline"> $H$ 非空，集合至少存在一個(gè)元素，那么根據(jù) $ab?1∈Hab^{-1}\in H$ ， $e∈He\in H$ ；然后只要取 $a = e$ 就能說(shuō)明逆元必然存在；最后，由于逆元存在，封閉性也可得知。

Theorem 3.2 Two-Step Subgroup Test

$G$ 是一個(gè)群， $H$ 是 $G$ 的一個(gè)非空子集，只需要滿(mǎn)足封閉性，逆元存在，就可以保證 $H≤GH\le G$

證明：除去已滿(mǎn)足的所有條件，只剩下單位元這一條需要驗(yàn)證，這很容易說(shuō)明，由于逆存在， $?a∈H,a?1∈H\forall a\in H, a^{-1}\in H$ ；又由于封閉性， $aa?1=e∈Haa^{-1}=e\in H$

一個(gè)重要例子——一種子群生成方式

$G$ 是阿貝爾群， $H≤G,K≤GH\le G, K\le G$ ，可得： $HK={hk∣h∈H,k∈K}HK=\{hk\mid h\in H, k\in K\}$ 也是 $G$ 的子群。

分析：由于阿貝爾群的可交換特性，封閉性和逆元都很容易說(shuō)明。

Theorem 3.3 Finite Subgroup Test

$H$ 是 $G$ 的有限子集，如果 $H$ 封閉，那么 $H≤GH\le G$ 。

證明：相對(duì)于Theorem 3.2 我們多了一個(gè)條件：子集有限；少了一個(gè)條件：逆元。那么根據(jù)增加的條件證明逆元存在即可。對(duì)于 $a∈Ha\in H$ ， $a = e$ 的逆元肯定存在，就是它自身；如果 $a≠ea\neq e$ ，構(gòu)造一個(gè)序列 ${a,a2,a3,?,an}\{a,a^2,a^3,\cdots ,a^n\}$ ，由于子群的有限性，這一序列不可能無(wú)限增加下去，必然存在某個(gè) $a^n=a^k, k< n$ ，那么 $a^{n-k}=1$ ，即 $a?1=an?k?1∈Ha^{-1}=a^{n-k-1}\in H$

這里給出一個(gè)記號(hào)： $?a?={an∣n∈Z}\langle a\rangle=\{a^n\mid n\in Z\}$

一些重要子群

Theorem 3.4 $?a?\langle a\rangle$ 是子群

根據(jù) $ab?1∈Hab^{-1}\in H$ （即Theorem 3.1）很容易驗(yàn)證。
這個(gè)子群是很常用的，對(duì)于 $a∈Ga\in G$ ，我們稱(chēng) $?a?\langle a\rangle$ 為： $G$ 由 $a$ 生成的循環(huán)子群。如果 $?a?=G\langle a\rangle =G$ ，我們稱(chēng) $G$ 為循環(huán)子群，且 $a$ 是 $G$ 的一個(gè)生成元。這個(gè)子群還有個(gè)特殊性質(zhì)，可以考慮 $?a?\langle a\rangle$ 是 $G$ 的所有包含 $a$ 的子群中最小的那個(gè)，因?yàn)楦鶕?jù)封閉性，只要子群包含 $a$ ，就必然包含 $a$ 生成的所有元素。
這個(gè)生成的概念可以推廣，對(duì)一個(gè)子集 $S$ ， $?S?\langle S\rangle$ 是包含 $S$ 的所有子群中最小的那個(gè)，叫做 $S$ 生成的子群。

群的中心（Center of a Group）

定義為： $Z(G)={a∈G∣ax=xa?x∈G}Z(G)=\{a\in G\mid ax=xa\ \forall x\in G\}$ ， $Z(G)≤GZ(G)\le G$
這個(gè)子群的含義是，所有可與所有群元素交換的群元素的集合。

證明：首先， $Z (G)$ 非空，因?yàn)閱挝辉隙梢耘c所有元素交換；接下來(lái)證明封閉性： $?a,b∈Z(G)，?x∈G,ax=xa,bx=xb\forall a,b\in Z(G)，\forall x\in G,ax=xa, bx=xb$ ，那么 $a b x = a x b = x a b$ ，封閉性可知；然后證明逆元存在： $?a∈Z(G)，ax=xa\forall a\in Z(G)，ax=xa$ ， $a^{-1}ax=a^{-1}xa=x,a^{-1}x=xa^{-1}$ ，逆元可知。

群中心化子（Centralizer of $a$ in $G$ ）

$a$ 是個(gè)固定的群元素，中心化子 $C (a)$ 是所有可與 $a$ 交換的群元素的集合，即 $C(a)={g∈G∣ga=ag}C(a)=\{g\in G\mid ga=ag\}$
$?a∈G,C(a)≤G\forall a\in G, C(a)\le G$ ，所有元素的中心化子都是子群

證明：首先 $C (a)$ 非空， $a$ 肯定和它本身可交換；然后證明封閉性： $?b,c∈C(a)\forall b,c\in C(a)$ ，顯然 $b, c$ 分別與 $a$ 可交換，那么 $b c a = b a c = a b c$ ，封閉性可知；然后證明逆的存在，和群的中心一樣證明就可。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数——Part2 群：基础与子群的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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