前言

本人跨專業考研上岸網絡空間安全專業，本科期間除了C語言外完全0基礎，為了研究生期間跟得上學校進度，開啟自學之路。在知乎上找了找經驗，買了本《深入淺出密碼學》開始入門密碼學。看了不到兩章，就被用到的整數環、mod運算給難住了，遂又開始補習密碼學所需要的數學基礎。為了保持自己的學習動力和加強記憶，開始隨學習進度更新學習筆記和個人理解。

Tip

課程為哈爾濱工業大學韓琦老師所講的信息安全數學基礎課程，筆記也是本人所做該課程的隨堂筆記。文章中包含個人為方便記憶所做的個人理解，因本人水平有限，疏漏或理解錯誤在所難免，歡迎批評指正！

四、近世代數

這一章基于前三章定義的數學概念及其性質，開始系統地學習近代的密碼學標準或數學原理。首先是基于有限域的多項式表示法所表示的高級加密數據標準（AES），其定義如下：

多項式或字節表示的加法和乘法如下例所示：

需要注意的是，課上并沒有給出乘法的字節表示，自己推算了一下發現由于是在有限域內的乘法，不同于一般的二進制乘法，不會產生進位，這樣才是正確的結果。
字節的按模移位通過定義倍乘函數來實現：

而且類似于按模乘法，按模移位也不同于一般的移位操作：

例一的結果恰好是原字節左移一位得到的，可能會對按模移位產生誤解。例二中，若是普通的左移應是00100110，但按模移位給出的結果則為：00111101，所以利用倍乘函數移位時還是應按照概念按步驟計算。
關于橢圓曲線，與韋爾斯特拉斯方程有關：

定義域k上的橢圓曲線如下：

值得注意的是，對橢圓曲線可以有更深層次的認識：

仔細研究一下橢圓曲線的定義：域k上的點集E稱為域k上的橢圓曲線，即表明E實際上是一個集合，對于集合我們已經很熟悉了，通過定義集合上的運算法則和單位元等就可以組成群、環、域等。類似的，定義E上加法：

這是一個很幾何的定義，我們來看兩個圖例，分別對應了P、Q同點或不同點的情況：

對于E上加法，有如下性質（本來想嘗試證明的，發現需要很強的幾何能力，實在搞不出來。鑒于只是一個基礎課程，記住并且會用就行。）：

對于藍字的解釋，回想一下群定義時的概念：

性質5使得E滿足G1，性質2對應滿足G2，將O視為單位元后，性質4滿足G3，性質3滿足G4。即三元組（E,⊕,O）滿足G1,G2,G3,G4構成交換群。
看完幾何上的結果，橢圓曲線的數學表示為：

以上均是橢圓曲線得理論結果，但密碼學領域實際使用的橢圓曲線則較為簡單：

定義后的第一個問題就是如何求點集（或稱橢圓曲線）Ep(a,b)？

則點集上的加法定義為：

接著就是具體算法的介紹了：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的网安自学之路-信息安全数学基础（五）-近世代数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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