数字电子技术基础——第二章 逻辑代数基础
目錄
2 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)
2.1 概述
2.1.1 邏輯代數(shù)
2.1.2 邏輯體制
2.2 邏輯代數(shù)中的常用運算
2.2.1 三種基本邏輯運算
?2.2.2 復(fù)合邏輯運算
2.3 邏輯代數(shù)的基本定律和常用公式
2.3.1 邏輯代數(shù)的基本定律
?2.3.2 邏輯代數(shù)中常用的公式
?2.3.3 三個重要規(guī)則
2.4 邏輯函數(shù)及其表示方法
2.4.1 邏輯函數(shù)
?2.5 邏輯函數(shù)的公式化簡法
2.5.1 邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式
2.5.2 邏輯函數(shù)公式化簡法
2.6 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法
2.6.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)
?2.6.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)
2.6.3 用卡諾圖化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)
?2.7 本章小結(jié)
2 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)
2.1 概述
2.1.1 邏輯代數(shù)
用于描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，又稱布爾代數(shù)或開關(guān)代數(shù)。
邏輯代數(shù)所表示的是邏輯關(guān)系，而不是數(shù)量關(guān)系，這是于普通代數(shù)的本質(zhì)區(qū)別。
邏輯代數(shù)中的1和0不表示數(shù)量大小，僅表示兩種相反的狀態(tài)。
2.1.2 邏輯體制
正邏輯體制：規(guī)定高電平為邏輯1，低電平為邏輯0
負(fù)邏輯體制則反之，通常未加說明，則為正邏輯體制。
2.2 邏輯代數(shù)中的常用運算
2.2.1 三種基本邏輯運算
與邏輯：當(dāng)影響事件的條件都滿足時，事件才會發(fā)生。
?
所有變量都為 1 時函數(shù)值為 1 。
實現(xiàn)與運算的單元電路稱為：與門
與門特性：有0出0，全1出1。
?或邏輯：當(dāng)影響某事件的條件之一具備時，該事件就發(fā)生。
?
只要有一個變量為1，函數(shù)值為1。
實現(xiàn)與運算的單元電路稱為：或門
或門特性：有1出1，全0出0。
?非邏輯：表示否定或事件結(jié)果與條件相反。
?
?實現(xiàn)非運算的單元電路稱為：非門或反相器。
非門特性：輸出與輸入電平相反。
?2.2.2 復(fù)合邏輯運算
與非運算
符號
?
與非門特性：有0出1，全1出0。
?或非運算
符號
?或非門特性：有1出0，全0出1。
與或非運算
符號
?與或非門特性：一步一步推導(dǎo)，類似加減乘除的順序來運算。
異或運算——二變量邏輯運算
兩個變量值相異時函數(shù)值為1，兩個變量值相同時函數(shù)值為0。
符號?
?同或運算——異或非運算
兩個變量值相異時函數(shù)值為0，兩變量值相同時函數(shù)值為1。
?
?常用邏輯門符號及特性對照
2.3 邏輯代數(shù)的基本定律和常用公式
2.3.1 邏輯代數(shù)的基本定律
?
?
?2.3.2 邏輯代數(shù)中常用的公式
?
?
?2.3.3 三個重要規(guī)則
一 代入規(guī)則——可擴大基本定律的應(yīng)用
當(dāng)邏輯等式中兩邊的某變量用相同的邏輯函數(shù)代替時，等式仍成立。
二 反演規(guī)則——快速求某函數(shù)的反函數(shù)
將函數(shù)式中的單個變量取反、常量（0、1）取反、“與”、“或”運算符對換（非運算保持），原運算順序不變，得該邏輯函數(shù)的反函數(shù)。
三 對偶規(guī)則——主要用于證明邏輯恒等式
當(dāng)兩個函數(shù)相等時，它們各自的對偶函數(shù)也相等，將函數(shù)式Y(jié)中的0、1對換；與、或運算符對換，保持運算順序不變，即得原函數(shù)的對偶式Y(jié)′。
2.4 邏輯函數(shù)及其表示方法
2.4.1 邏輯函數(shù)
邏輯函數(shù)的建立：
用數(shù)學(xué)的方式來描述某一邏輯事件于其條件間的因果關(guān)系。
方法：找到輸入變量和輸出函數(shù)，對他們的取值作出邏輯規(guī)定，最后將邏輯關(guān)系表示出來，建立邏輯函數(shù)時必須確定所需要的函數(shù)變量和函數(shù)輸出的個數(shù)，以及變量取值0，1代表的定義。
?邏輯函數(shù)的表示方法：
1.真值法：?以表格的形式直觀描述邏輯函數(shù)變量（條件）的所有取值組合與函數(shù)值之間一一對應(yīng)的關(guān)系。
2.邏輯函數(shù)式：以代數(shù)式的形式用邏輯運算符綜合邏輯變量表示邏輯函數(shù)。
3.邏輯圖：以電路圖的形式用邏輯圖形符號的連接關(guān)系表示邏輯函數(shù)。
4.波形圖：? 以輸入、輸出信號波形在時間上的對應(yīng)關(guān)系表示元件的邏輯功能。
5.卡諾圖：真值表的方格圖形式，圖中幾何相鄰的格邏輯相鄰。
6.硬件描述語言：?以類似計算機軟件編程語言的形式描述事件的邏輯關(guān)系，常用的有VHDL和Verilog HDL語言。
2.4.2 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式
一 最小項和最小項表達(dá)式
1.最小項定義：將變量取值組合用邏輯變量“與項”的形式表現(xiàn)出來，取值0寫反變量，取值1寫原變量，構(gòu)成一個與項。最小項永遠(yuǎn)最求1。
?2.最小項編號
最小項可以用簡記符號表示，以方便書寫。下標(biāo)序號i=0～2n-1，是對應(yīng)變 量取值組合的等效十進(jìn)制數(shù)。
?使用最小項簡記符時應(yīng)說明變量在最小項中的排序。
?3.最小項表達(dá)式——標(biāo)準(zhǔn)與或式
?對于變量的任一組取值，只有一個最小項的值為1，所有最小項之和為1，最小項表達(dá)式是唯一的，由真值表寫出的表達(dá)式為最小項表達(dá)式。
?一般與或式標(biāo)準(zhǔn)與或式
?二 最大項和最大項表達(dá)式
變量數(shù)相同時，相同編號的最小項和最大項互為反函數(shù)
?2.5 邏輯函數(shù)的公式化簡法
2.5.1 邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式
一 化簡邏輯函數(shù)的意義
由真值表直接寫出的最小項邏輯式基由此畫出的邏輯圖，一般比較復(fù)雜。
?二 邏輯函數(shù)的最簡與或式
工程化簡要求：
邏輯表達(dá)式最簡（器件最少，速度最快）
或者邏輯運算關(guān)系統(tǒng)一（器件型號統(tǒng)一）
最簡與或式的標(biāo)準(zhǔn)：
1.邏輯函數(shù)式中乘積項個數(shù)最少（與門最少）
2.乘積項中變量個數(shù)最少
2.5.2 邏輯函數(shù)公式化簡法
利用邏輯代數(shù)的基本定律和常用公式消區(qū)邏輯函數(shù)中多余的乘積項和乘積項中的多余變量，使其成為最簡與或式。
?1.并項法：利用并向，消變量。
?2.吸收法：利用吸收律和消去多余項。
?
3.消去法：利用消去多余的因子。
?4.配項法：利用乘項或加入零項進(jìn)行配項，消去其他項的變量。
5.加項法：利用加相同項消去其他項。
?用“與非”門實現(xiàn)其他函數(shù)關(guān)系
2.6 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法
?卡諾圖化簡分三步走
1.填寫卡諾圖
2.畫合并圈
3.寫表達(dá)式
2.6.1 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)
一 最小項卡諾圖的組成
1.相鄰最小項
兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。
兩個相鄰最小項相加可合并為一項，消去互反變量，化簡為相同變量相與。
2.卡諾圖的組成
卡諾圖是最小項按一定規(guī)則排列成的方格圖。
?卡諾圖中的相鄰項：同一行最左與最右方格相鄰，同一列最上與最下方格相鄰，相鄰項在幾何位置上也相鄰。
二 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)
(1) 求邏輯函數(shù)真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與-或式或者與-或式。 ?(2) 畫出變量卡諾圖。 ?(3) 根據(jù)真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與-或式或者與-或式填圖。
?2.6.2 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)
公式化簡法
優(yōu)點：對變量個數(shù)沒有限制。缺點：需要技巧，不易判斷是否為最簡式。
卡諾圖化簡法
優(yōu)點：簡單，直觀，有一定的步驟和方法，易判斷結(jié)果為最簡式。缺點：適合變量個數(shù)較少的情況。一般用于四變量及四變量以下函數(shù)的化簡。
化簡依據(jù)：用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)式，其原理是合并相鄰最小項，消去互反變量，以達(dá)到化簡的目的?？ㄖZ圖提供了找出相鄰最小項的便捷方法。
化簡規(guī)律：2 個相鄰最小項有 1 個互反變量，相加可以消去這 1 個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與； 4 個相鄰最小項有 2 個互反變量，相加可以消去這 2 個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與； 8 個相鄰最小項有 3 個互反變量，相加可以消去這 3 個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與； …… 2n 個相鄰最小項有 n 個互反變量，相加可以消去這 n 個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與。
卡諾圖化簡步驟：
1.畫函數(shù)卡諾圖
2.對填1的相鄰最小項方格畫包圍圈
3.將各圈分別化簡
4.將各圈化簡結(jié)果邏輯加
畫包圍圈原則：包圍圈必須包含 2n 個相鄰 1 方格。圈越大越好；圈越少越好；1 方格可重復(fù)圈，但必須每圈有新 1；每個 1 方格必須圈到，孤立 1 方格也不能漏掉。
2.6.3 用卡諾圖化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)
一 約束項，任意項和無關(guān)項
無關(guān)項是特殊的最小項，這種最小項所對應(yīng)的變量取值組合或者不允許出現(xiàn)或者根本不會出現(xiàn)。
受到約束不會出現(xiàn)的最小項稱為約束項；某些變量取值客觀上不會出現(xiàn)，對于這些變量取值，邏輯函數(shù)是任意的，對應(yīng)的這些最小項稱為任意項。
約束項和任意項統(tǒng)稱為無關(guān)項。
二 利用無關(guān)項化簡邏輯函數(shù)
無關(guān)項的取值對邏輯函數(shù)值沒有影響。合理利用無關(guān)項可使邏輯式更簡單。化簡時應(yīng)需要將無關(guān)項方格看作1或0，使包圍圈最少而且最大，從而使結(jié)果最簡。無關(guān)項可以根據(jù)合并圈擴大的化簡要求任意取值“0”或“1”，但不必全部圈入。
?2.7 本章小結(jié)
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的数字电子技术基础——第二章 逻辑代数基础的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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