第11講 有限域 教師：李艷俊 本講內容 一．域的特征 二．有限域的結構 三．密碼學上的簡單應用 一．域的特征 二．有限域的結構 3．有限域的結構 將階為pn的有限域記作GF(pn)，稱之為pn階的 Galois域。 設p是任意給定的一個素數，n是任一正整數。令f(x)是域Zp上一個n次不可約多項式，則Zp[x]/(f(x))是域， Zp[x]/(f(x))={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1＋(f(x))|ai?Zp}。 記GF(pn)[x] = Zp[x]/(f(x))， 5．有限域的表示 例4：已知x2＋1是Z3上的不可約多項式，利用 該不可約多項式構造一個9階有限域GF(32)[x]， 寫出GF(32)[x]的9個元素，并判斷1＋x是否為 GF(32)的本原元。 三．密碼學上的簡單應用 設f(x)是域Z2上一個n次不可約多項式， 則GF(2n)[x]=Z2[x]/(f(x)) ={a0＋a1x＋…＋an－1xn－1|ai?Z2}。 若記0=000=0，1=001=1，x=010=2，x＋1=011=3，x2=100=4，x2＋1=101=5，x2＋x=110=6，x2＋x＋1=111=7； Z8={0，1，2，…，7}乘法表 2．有限域GF(28)在AES中的應用 有限域GF(28)上多項式計算 作業 * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 若R是無零因子環，則其加群中所有非零元的階相同，或是無限，或是一個素數。 設R是無零因子環，當其加群中所有非零元的階無限時，chR=0；當此階為素數p時，chR=p。 域F的特征或是零，或是素數。 定義1：設F是域，1是F的單位元，若1在(F，＋)的階數為無窮大，則稱F的特征為0；若1在(F，＋)的階數為素數p，則稱F的特征為p。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 只含有限個元素的域稱為有限域。 有限域的元素個數稱為有限域的階。 每個特征為零的域都是無限域。 有限域的特征一定是素數。 在特征是素數p的域F中，下列等式成立： (a＋b)p=ap＋bp， (a－b)p=ap－bp，?a，b?F。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 有限域F中非零元組成的集合F*關于乘法做成的群稱為有限域的乘法群。 命題1：設Fq是一個含有q個元素的有限域，Fq*=Fq\{0}，則Fq的乘法群Fq*是一個循環群。 定義2：設Fq是一個有限域，Fq*=Fq\{0}，Fq*的生成元稱為Fq的本原元。 命題2：設Fq是一個含有q個元素的有限域，則Fq中共有?(q－1)個本原元。 1．有限域的乘法群 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1：求有限域F5=Z5的所有本原元。 解：2和3是F5的本原元。 例2：求模14的原根。 解：3和11是模14的原根。 命題3 設F是一個域，若chF=0，則F含有一個與有理數域同構的子域； 若chF=p，則F含有一個與Z/(p)同構的子域。 2. 域的同構 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理1：設F是一個特征為p的有限域，則F的元素個數一定為p的一個冪pn，n≥1。 定理2：對任意素數p和任意正整數n，一定存在一個含有pn個元素的有限域。 命題

總結

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