KL距離（相對(duì)熵）
KL距離，是Kullback-Leibler差異（Kullback-Leibler Divergence）的簡(jiǎn)稱，也叫做相對(duì)熵（Relative Entropy）。它衡量的是相同事件空間里的兩個(gè)概率分布的差異情況。其物理意義是：在相同事件空間里，概率分布P(x)對(duì)應(yīng)的每個(gè)事件，若用概率分布 Q(x)編碼時(shí)，平均每個(gè)基本事件（符號(hào)）編碼長(zhǎng)度增加了多少比特。我們用D（P||Q）表示KL距離，計(jì)算公式如下：

D(P||Q)=∑x∈XP(x)logP(x)Q(x)D(P||Q)=∑x∈XP(x)log?P(x)Q(x)
當(dāng)兩個(gè)概率分布完全相同時(shí)，即P(X)=Q(X)，其相對(duì)熵為0 。我們知道，概率分布P(X)的信息熵為：
H(P)=?P(x)logP(x)H(P)=?P(x)log?P(x)

其表示，概率分布P(x)編碼時(shí)，平均每個(gè)基本事件（符號(hào)）至少需要多少比特編碼。通過(guò)信息熵的學(xué)習(xí)，我們知道不存在其他比按照本身概率分布更好的編碼方式了，所以D(P||Q）始終大于等于0的。雖然KL被稱為距離，但是其不滿足距離定義的三個(gè)條件：1）非負(fù)性（滿足）；2）對(duì)稱性（不滿足）；3）三角不等式 （不滿足）。

我們以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明，KL距離的含義。

假如一個(gè)字符發(fā)射器，隨機(jī)發(fā)出0和1兩種字符，真實(shí)發(fā)出概率分布為A，但實(shí)際不知道A的具體分布。現(xiàn)在通過(guò)觀察，得到概率分布B與C。各個(gè)分布的具體情況如下：

A(0)=1/2，A(1)=1/2

B(0)=1/4，B(1)=3/4

C(0)=1/8，C(1)=7/8

那么，我們可以計(jì)算出得到如下：

D(A||B)=12log(1214)+12log1234=12log43D(A||B)=12log?(1214)+12log?1234=12log?43
D(A||C)=12log(1218)+12log1278=12log167D(A||C)=12log?(1218)+12log?1278=12log?167
也即，這兩種方式來(lái)進(jìn)行編碼，其結(jié)果都使得平均編碼長(zhǎng)度增加了。我們也可以看出，按照概率分布B進(jìn)行編碼，要比按照C進(jìn)行編碼，平均每個(gè)符號(hào)增加的比特?cái)?shù)目少。從分布上也可以看出，實(shí)際上B要比C更接近實(shí)際分布（因?yàn)槠渑cA分布的KL距離更近）。

如果實(shí)際分布為C，而我們用A分布來(lái)編碼這個(gè)字符發(fā)射器的每個(gè)字符，那么同樣我們可以得到如下：

D(C||A)=18log1812+78log7812>0D(C||A)=18log?1812+78log?7812>0
再次，我們進(jìn)一步驗(yàn)證了這樣的結(jié)論：對(duì)一個(gè)信息源編碼，按照其本身的概率分布進(jìn)行編碼，每個(gè)字符的平均比特?cái)?shù)目最少。這就是信息熵的概念，衡量了信息源本身的不確定性。另外，可以看出KL距離不滿足對(duì)稱性，即D(P||Q)不一定等于D(Q||P)。

當(dāng)然，我們也可以驗(yàn)證KL距離不滿足三角不等式條件。

上面的三個(gè)概率分布，D(B||C)=1/4log2+3/4log(6/7)。可以得到：D(A||C) - (D(A||B)+ D(B||C)) =1/2log2+1/4log(7/6)>0，這里驗(yàn)證了KL距離不滿足三角不等式條件。所以KL距離，并不是一種距離度量方式，雖然它有這樣的學(xué)名。

其實(shí)，KL距離在信息檢索領(lǐng)域，以及統(tǒng)計(jì)自然語(yǔ)言方面有重要的運(yùn)用。
原文地址: https://www.cnblogs.com/nlpowen/p/3620470.html

總結(jié)

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