上篇文章講到一個悖論,這里解開悖論的什么面紗

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「游客沒有輸入任何新的信息」這個斷言是錯的。
N=1的情形不必說了，顯然輸入了新信息。

對于N>1的情形，要注意，游客必須是當(dāng)著所有人的面公開做出宣告，如果他是私下分別對每個人說的，就不會起任何作用。「公開宣告」這一舉動的意義不是讓每個人都知道「島上有紅眼睛」，而是讓每個人都知道「每個人都知道每個人都知道……每個人都知道島上有紅眼睛」。在游客公開宣告之前，島上的人是不可能具有這個多階知識的，這就是游客輸入的新信息。

以N=2為例，公開宣告之后，紅1立刻獲得了一個新的2階知識：「紅2知道島上有紅眼睛」，在公開宣告之前，他沒有能力判斷這個2階命題的真假，因為在這之前命題的真假依賴于紅1自己的眼睛顏色。同樣，紅2也獲得了新知識「紅1知道島上有紅眼睛」。

N=3時，公開宣告使得紅1立刻獲得了一個新的3階知識：「紅2知道紅3知道島上有紅眼睛」，在此之前，這個3階命題的真假也是依賴于紅1自己的眼睛顏色（紅則為真，藍則為假）。同樣，紅2和紅3也獲得了類似的知識。

N=4,5,6,...依此類推。

簡單說，「島上有紅眼睛」這件事本來只是一項「共有知識」（Mutual knowledge），公開宣告使它變成了一項「公共知識」（Common knowledge）。這兩種知識的區(qū)分在認(rèn)知邏輯里面非常重要，在博弈論中有廣泛的應(yīng)用。

用不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑挻致越榻B一下這兩個概念：對于一個給定的命題P和一群給定的人，共有知識只需要滿足一個條件：這群人中所有人都知道P，那么P就是這群人的共有知識。
公共知識則需要滿足以下所有條件：
這群人中
1、所有人都知道P；
2、所有人都知道所有人都知道P；
3、所有人都知道所有人都知道所有人都知道P；
4、所有人都知道所有人都知道所有人都知道所有人都知道P；
5、……
一直下去，直到無窮。要同時滿足這無窮多個條件，才能說P是這群人的公共知識。

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看到有些人還是不明白為什么公開宣告之前沒有人自殺，為什么宣告之后就會自殺了，以及為什么要等到第N天才自殺。以下就用N=4為例來分析一下，希望能有助于理解（但也有可能讓人繞得更暈）。
設(shè)4個紅眼島民分別為A, B, C, D，以下是A心中做出的推理：

我看到3個紅眼，這可以劃分成一共5種情況：
1、我是紅的；
2、我是藍的，且B自認(rèn)為是紅的；
3、我是藍的，且B自認(rèn)為是藍的，且B認(rèn)為C自認(rèn)為是紅的；
4、我是藍的，且B自認(rèn)為是藍的，且B認(rèn)為C自認(rèn)為是藍的，且B認(rèn)為C認(rèn)為D自認(rèn)為是紅的；
5、我是藍的，且B自認(rèn)為是藍的，且B認(rèn)為C自認(rèn)為是藍的，且B認(rèn)為C認(rèn)為D自認(rèn)為是藍的。

假如沒有游客來公開宣告「島上有紅眼」，那么A永遠無法判斷上述哪一種是真的。由于島上所有人都做出同樣的推理（藍眼島民推出的情形多一種），所以每個人都無法判斷自己眼睛的顏色，大家都不用去死。
而一旦公開宣告「島上有紅眼」，A立刻知道「B知道C知道D知道島上有紅眼」，因此可以立刻排除5；當(dāng)晚沒人死，因此第二天可排除4；第三天排除3；第四天排除2只剩下1，因此A在第四天晚上自殺。B, C, D也都做出完全一樣的推理，所以也都在第四天晚上自殺。

====補充====
有人提到，這道題的一個必要前提是島上的人要完全信任這個游客。這很對，但還不夠。不僅每個人都要相信該游客，而且還必須每個人都知道每個人都知道……每個人都知道每個人都相信該游客。即「游客完全可信」這件事本身也必須是一個公共知識。只有這樣，游客的宣告才會具備使共有知識轉(zhuǎn)變?yōu)楣仓R的力量。

====補充2====
從小到大，我們一次又一次地被旁人這樣教訓(xùn)：「噓，別說了，小心點。況且這種事誰不知道啊，還要你說？說出來又有什么用呢？你有力量改變它嗎？」久而久之，我們越來越習(xí)慣于把「你懂的……」掛在嘴邊，習(xí)慣于對房間里的大象視而不見，選擇性遺忘了一個我們其實早就知道的重要事實：「大聲說出來」跟「彼此心照不宣」有著決定性的區(qū)別。我們不是沒有力量。一條恰當(dāng)?shù)男?#xff0c;哪怕它的內(nèi)容只不過是「我知道」這么簡簡單單的一句話，也有可能引起整個社會的信念結(jié)構(gòu)的根本改變，讓許許多多人斷然行動起來。這就是我們每一個人的力量。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一个关于数学归纳法的悖论问题-续的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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