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　1二元隨機變量的定義
　2二元離散型隨機變量的定義、聯合概率分布律、邊際分布律、條件分布律
　3二元離散型隨機變量聯合概率分布律函數、邊際分布函數、條件分布函數
　4二元連續型隨機變量的定義、聯合概率密度函數、邊際密度函數、條件密度函數
二元隨機變量
　舉例：研究入學兒童的發育情況。從一個樣本（兒童）的身高、體重，兩個維度研究。這用面向對象的編程角度理解類似于一個實體，有兩個屬性。
　再個栗子：研究炮彈著點位置。每個樣本（位置）由橫坐標、縱坐標確定。
　這兩個例子中每個樣本的兩個維度不是固定不變的，而是隨機變化的。入學兒童的年齡在樣本空間中就幾乎不變（在我們國家入學年齡7歲），入學年齡就不是隨機變量。
　定義：設E是一個隨機試驗，樣本空間S={e}，設X=X{e}，Y=Y(e)是定義在S上的隨機變量，由它們構成的向量(X,Y)稱為二元隨機變量，也稱二維隨機變量。

二元離散型隨機變量
　定義：若二元隨機變量（X,Y）全部可能取到不同的值是有限對，或者可列無數對，則稱(X,Y)是二元離散型隨機變量。
　
二元離散型隨機變量的概率分布律
　定義：若(X,Y)所有可能取值為(xi,yj)稱P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,3...為二元離散型隨機變量(X,Y)的聯合概率分布律。也可簡稱(X,Y)的分布律。
　性質
　1 pij≥0。
　2 ∑∞i=1∑∞j=1pij=1
　3 P((X,Y)∈D)=∑xi,yj∈Dpij，其中pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,3...
　舉例
　

二元離散型隨機變量的邊際分布律
　定義：離散型隨機變量(X,Y)的邊際分布律為P(X=xi)=∑∞j=1p(xi,yj)，記為pi.，P(Y=yj)=∑∞i=1p(xi,yj)，記為p.j。
　

二元離散型隨機變量的條件分布律
　定義：(X,Y)是二元離散型隨機變量，對于固定的yj，如果P(Y=yj)>0(Y的邊際分布律>0)，則稱P(X=xi|Y=yj)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)=pijp.j，i=i,2,3...，為在Y=yj條件下，隨機變量X的條件分布律。
　同樣的，對于固定的xi，如果P(X=xi)>0，則稱P(Y=yj|X=xi)=P(X=xi,Y=yj)P(X=xi)=pijpi.，j=i,2,3...，為在X=xi條件下，隨機變量Y的條件分布律。
　例子
　
　
　
　
　
二元隨機變量的聯合分布函數
　定義：若(X,Y)是二元隨機變量，對于任意的實數x,y二元函數F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，稱為二元隨機變量(X,Y)的聯合分布函數。
　二元離散型隨機變量的聯合分布函數:F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∑xi≤x,yj≤yP(X=xi,Y=yj)。
　性質：
　1 F(x,y)關于x,y單調不遞減。
　2 0≤F(x,y)≤1，F(?∞,+∞)=1
　3 F(x,y)關于x,y右連續，即 limε→0+F(x+ε,y)=F(x,y)，limε→0+F(x,y+ε)=F(x,y)
　4 如果x1<x<x2，y1<y<y2則有
　P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)+F(x1,y1)
　

二元隨機變量的邊際分布函數
　定義：二元隨機變量(X,Y)關于X的邊際分布函數記為FX(x)，關于Y的邊際分布函數記為FY(y)。
　FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)=F(x,+∞)=limy→+∞F(x,y)
　FY(y)=P(Y≤y)=P(X<+∞,Y≤y,)=F(+∞,y)=limx→+∞F(x,y)

二元隨機變量的條件分布函數
　定義：如果P(Y=y)>0，則在Y=y條件下，X的條件分布函數為FX|Y(x|y)=P(X≤x|Y=y)=P(X≤x,Y=y)P(Y=y)，如果(X,Y)是離散型隨機變量，則P(Y=y)>0。
　如果(X,Y)是連續型隨機變量，P(Y=y)=0，但是ε>0,P(y<Y<y+ε)>0，則在Y=y 條件下X的條件分布函數定義為FX|Y(x|y)=limε→0+P(X≤x|y<Y<y+ε)

二元連續型隨機變量
　定義：對于二元隨機變量(X,Y)的分布函數F(x,y)，如果存在非負函數f(x,y)，使得對于任意x,y 有F(x,y)=∫x?∞∫y?∞f(u,v)dudv，稱(X,Y)為二元連續型隨機變量，稱f(x,y)為二元隨機變量(X,Y)的聯合概率密度函數。
　
二元連續型隨機變量聯合概率密度函數
　性質
　1 f(x,y)>=0
　2 ∫+∞?∞∫+∞?∞f(x,y)dxdy=1，在幾何上z=f(x,y)表示空間的一個頂曲面，介于它和x0y平面的空間體積為1。
　3 概率和。設D是xoy平面上的區域，點(X,Y)落在D內的概率為P((X,Y)∈D)=∫∫Df(x,y)dxdy。P((X,Y)∈D)等于以D為底，曲面f(x,y)為頂面的柱體體積。
　4 在f(x,y)的連續點(x,y)，有F(x,y)的二階導=f(x,y)
　二元連續型隨機變量的概率密度函數與分布函數之間就是積分與求導的關系了。

二元連續型隨機變量邊際概率密度函數
　定義：對于連續型隨機變量(X,Y)，概率密度函數為f(x,y)，X,Y的邊際概率密度函數為：
　fX(x)=∫+∞?∞f(x,y)dy
　fY(y)=∫+∞?∞f(x,y)dx
　要注意 對x積分的時候，y是不變的，x的邊界是：要找到 x自己的邊界以及與y的關系邊界的交集。對y積分的時候也一樣。
二元連續型隨機變量條件概率密度函數
　定義：設二元隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)，(X,Y)關于Y的邊際概率密度函數fY(y)，若對于固定的y，fY(y)>0且fY(y)是連續的，則在Y=y的條件下，X的條件概率密度為：fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)。
　同理，若對于固定的X=x，且fX(x)連續的，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x)。
　
　
二元均勻分布
　定義：如果二元隨機變量(X,Y)的概率密度函數在平面上的一個有界區域D內是常數，而在其他地方取值為0，則稱(X,Y)在D上服從均勻分布。
　f(x,y)=???1A,(x,y)∈D0,other
　A=D，也就是說在D上，f(x,y)=1/面積。
　二元均勻分布的條件分布仍然是均勻分布。
二元正態分布

　二元正態分布的兩個邊際分布函數都是一元正態分布，并且與ρ沒有關系。在X=x的條件下，Y的條件分布也是正態分布。
　

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二元随机变量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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