1. 序言

• 線性代數不光要會計算，還要理解掌握其幾何直觀。

2. 向量究竟是什么？

• 物理學：向量是空間中的箭頭，具有長度和方向兩個屬性。
• 計算機：向量是一個有序數表。比如房屋的參數信息可以根據相關屬性按準許列成一個數表。
• 向量可以看成一種運動，即在空間中朝某個方向邁出一定距離。
• 向量有兩個基礎運算加法和數乘。

3. 線性組合，張成空間和基向量

• 向量張成的空間是兩個向量任意組合能夠得到的新的向量終點集合所組成的空間。（所有可以表示為給定向量線性組合的向量的集合被稱為給定向量張成的空間。）
• 若所有向量共線，那么張成的空間只有一條直線。
• 若所有向量都是0向量，那么張成空間只有一個點。
• 兩個不共線的三維向量張成的空間是一個平面。
• 三個彼此不共線的三維向量張成的空間是一個三位空間。
• 向量之間線性相關是說其中存在向量可以被其他向量表示，如果每一個向量都給張成空間增加了一個維度，那就是說這些向量線性無關。
• 向量空間的一組基是張成該空間的一個線性無關的向量集。

4.矩陣與線性變換

• 線性變換滿足兩個條件1.變換后網格線等距分布且互相品行，2.原點位置不變。
  原因：線性運算加法和數乘不會使向量產生彎曲不會改變原點位置。
• 矩陣是一種特定的線性變換。
• 對一個向量進行線性變換就相當與把原向量在變換矩陣(新的基向量)下展開。即“縮放新基向量再相加”，也就是一個矩陣乘一個向量。
• 當矩陣列線性相關時就表示這個變換會使空間降維。二維矩陣列線性相關表示會把空間擠壓為一維直線。
• 矩陣可以看作新的基向量。矩陣向量乘法就是計算線性變換作用于給定向量的一種途徑，

5. 矩陣乘法與線性變換復合的聯系

• 矩陣乘法的本質是一種線性變換。
• 多個矩陣相乘相當于對空間從右到做依次對空間進行線性變換。如多個矩陣$M_1{M}_2{M}_3$從右邊開始相當于先對第一個矩陣$M_3$的列向量基向量做變換得到新的基向量然后再
• 矩陣乘向量相當于對向量做矩陣的變換，相當于按照矩陣每一個列向量作為新的基向量，在新的基向量下求向量的表示。
• $M_1{M}_2=?M_2{M}_1$,這個問題可以從幾何變換角度考慮，可知原命題必然不可能。
  以及$(AB)C=?A(BC)$

6. 三維空間的線性變換

• 三維空間的線性變換由一個行列維度$3?3$的矩陣描述，這個線性變換的意義就是以三維空間基向量進行變換后所圍成的三維空間。
• 變換后的基向量就是三維矩陣的每個列向量作為基向量。

7. 行列式的本質：就是行列式的列向量數量$d$作為空間維度數量，是對d維空間基向量空間的縮放比例。

• $det(M_1{M}_2)=det(M_1)det(M_2)$
  原因：兩個縮放的復合縮放對空間的影響=兩個單獨縮放對空間的影響之積。

8. 逆矩陣，列空間，秩與零空間。

• 線性代數描述對空間的運動和操縱。
• 方程組可以轉化成一個矩陣向量方程$Ax=b$的形式，要找到一個位置向量$x$使得變換后與$b$重合。A變換有兩種情況：
• 將空間擠壓成一個低維的變換此時$det(A)=0$
• 不改變空間的維度此時$det(A)=0$
• 情況1通過逆變換可以找到向量x，也就是$A^{?1}A=$什么都不做的變換，那么這個變換叫做恒等變換。那么找到$A^{?1}$就可以兩邊同乘可以得到解。方程數量=變量數量這便是唯一解。適用于高維情況。
• 情況2將空間降維壓縮，但無法復原，一個空間在壓縮后的量在壓縮前的空間存在多解，所以無法復原。
• $Ax=b$即便A等于0，對空間降維，依然可能存在解，條件是$b$在降維空間之內。維度下降越多，解越可能不存在。
  
• 解變換成1維的，我們說秩為1；如果變換后解落在二維平面內。那么秩就為2。秩代表變換后空間的維數。秩為1表示變換后空間變成1維，秩為2表示空間變換后成為一個平面比如$2?2$的矩陣表示對二維空間變換，那么
• **所有可能的變換結果的集合，都被成為矩陣的列空間。**比如一個變換把空間變成一條線，一個平面，或是三維空間。這些結果都算做矩陣的列空間。矩陣的列告訴我們向量變換后的位置這些變換后基向量張成的空間就是所有可能的變換結果，所以所有變換結果的集合就是矩陣的列空間。也就是矩陣的列所張成的空間，秩是列的維數。秩為最大稱為滿秩。
• 零向量一定被包含在列空間，因為滿秩線性變換原點保持不變，線性變換后唯一保持不變的就是0向量。非滿秩會把空間壓縮到更低維度空間上，也就是有一系列向量被壓縮為0向量。
• 空間線性變換后0向量的解集叫做矩陣的零空間或核。 比如一個2*2的變換$Ax=0$，秩為1，壓縮二維空間到1維，這個向量方程的解在二維空間中是一個直線方程。
• 三維線性變換，把空間壓縮到1維。

9.非方陣，不同維度空間之間的線性變換

• 矩陣的維度透露變換信息，矩陣的列向量數量表明空間變換前的維度信息，矩陣的行數量表明了變換后的維度信息。

10.點積與對偶性

• 點積也是一種線性變換，是一種把向量映射到一維數軸的降維線性變換。
• 兩個向量做點積，相當于其中一個向量對另一個向量方向上做投影映射，而另一個向量就是數軸壓縮成1維之后原維度在1維情況下的各個分量。那么這樣點積下來就得到了對應分量在變換后1維情況下對應分量的加和。
• **兩個向量做點積，被作為投影方向的向量分量相當于把原維度下的基向量對新維度做映射變換后的新基單位向量乘以一個倍數的結果。**這個向量可看作一個矩陣，$1?n$的向量也就是變換矩陣，也是把原n維空間的向量轉化成1維向量。
• ** 點積順序不影響結果。**
• 點積的本質是矩陣向量乘積。
• 一個線性變換的輸出空間是一維數軸，那么原空間中會存在唯一的向量v與此向量相關,由于原空間的基向量是固定的，也就是說這個映射變換會在1維空間中得到一個唯一的映射。若原空間的基向量不定，則可能存在多個原向量對應。**這便是數學中的對偶性。**也就是兩種數學事物之間自然而出乎意料的關系，**一個向量的對偶便是由他定義的線性變換。**一個多維空間到一維空間的線性變換的對偶是多維空間的某個特定向量。

以線性變換的眼光看待叉積

• 兩個向量的叉積其實和行列式是相同的，會發現不管是二維向量還是三維向量叉積都和二維三維的行列式是結果一樣的，也就是，行列式的結果是一個數，叉積的結果是一個向量也同時是叉積的向量圍成的面積，當向量維度是二維的時候，兩個二維向量叉積值維面積行列式也是面積，三維向量叉積得到的是圍成的面積同時又乘了一個$a,b,c$;
  $\{a,b,c\}?\{v2?w3?v3?w2,v3?w1?v1?w3,v1?w2?v2?w1\}=\alpha ?p$=
  $$det(?\begin{array}{ccc}a& v1& w1\\ b& v2& w2\\ c& v3& w3\end{array}?)$$
  這里也就是行列式和叉積得到了統一，三維向量叉積可以看作是兩個向量$v,w$叉乘得到底面積得到了以底面積為長度的向量$p$,乘上一個$\{a,b,c\}$也就是得到了向量$\{a,b,c\}$在垂直于底面向量叉積的點積投影，也就是$|\alpha |?|p|?cos\theta$就得到了高*底面積=$det(?\begin{array}{ccc}a& v1& w1\\ b& v2& w2\\ c& v3& w3\end{array}?)$也就是體積。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数的本质笔记-更新ing的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。