Dijkstra算法与Floyd算法
最短路徑—Dijkstra算法和Floyd算法
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注意：以下代碼 只是描述思路，沒(méi)有測(cè)試過(guò)！！
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Dijkstra算法
1.定義概覽
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。主要特點(diǎn)是以起始點(diǎn)為中心向外層層擴(kuò)展，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路徑算法，在很多專業(yè)課程中都作為基本內(nèi)容有詳細(xì)的介紹，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，圖論，運(yùn)籌學(xué)等等。注意該算法要求圖中不存在負(fù)權(quán)邊。
問(wèn)題描述：在無(wú)向圖 G=(V,E) 中，假設(shè)每條邊 E[i] 的長(zhǎng)度為 w[i]，找到由頂點(diǎn) V0 到其余各點(diǎn)的最短路徑。（單源最短路徑）
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2.算法描述
1)算法思想：設(shè)G=(V,E)是一個(gè)帶權(quán)有向圖，把圖中頂點(diǎn)集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點(diǎn)集合（用S表示，初始時(shí)S中只有一個(gè)源點(diǎn)，以后每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部頂點(diǎn)都加入到S中，算法就結(jié)束了），第二組為其余未確定最短路徑的頂點(diǎn)集合（用U表示），按最短路徑長(zhǎng)度的遞增次序依次把第二組的頂點(diǎn)加入S中。在加入的過(guò)程中，總保持從源點(diǎn)v到S中各頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度不大于從源點(diǎn)v到U中任何頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度。此外，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)距離，S中的頂點(diǎn)的距離就是從v到此頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度，U中的頂點(diǎn)的距離，是從v到此頂點(diǎn)只包括S中的頂點(diǎn)為中間頂點(diǎn)的當(dāng)前最短路徑長(zhǎng)度。
2)算法步驟：
a.初始時(shí)，S只包含源點(diǎn)，即S＝{v}，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點(diǎn)，即:U={其余頂點(diǎn)}，若v與U中頂點(diǎn)u有邊，則<u,v>正常有權(quán)值，若u不是v的出邊鄰接點(diǎn)，則<u,v>權(quán)值為∞。
b.從U中選取一個(gè)距離v最小的頂點(diǎn)k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長(zhǎng)度）。
c.以k為新考慮的中間點(diǎn)，修改U中各頂點(diǎn)的距離；若從源點(diǎn)v到頂點(diǎn)u的距離（經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)k）比原來(lái)距離（不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)k）短，則修改頂點(diǎn)u的距離值，修改后的距離值的頂點(diǎn)k的距離加上邊上的權(quán)。
d.重復(fù)步驟b和c直到所有頂點(diǎn)都包含在S中。
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執(zhí)行動(dòng)畫過(guò)程如下圖
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3.算法代碼實(shí)現(xiàn)：
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const int MAXINT = 32767; const int MAXNUM = 10; int dist[MAXNUM]; int prev[MAXNUM];int A[MAXUNM][MAXNUM];void Dijkstra(int v0) {bool S[MAXNUM]; // 判斷是否已存入該點(diǎn)到S集合中int n=MAXNUM;for(int i=1; i<=n; ++i){dist[i] = A[v0][i];S[i] = false; // 初始都未用過(guò)該點(diǎn)if(dist[i] == MAXINT) prev[i] = -1;else prev[i] = v0;}dist[v0] = 0;S[v0] = true; for(int i=2; i<=n; i++){int mindist = MAXINT;int u = v0; // 找出當(dāng)前未使用的點(diǎn)j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)if((!S[j]) && dist[j]<mindist){u = j; // u保存當(dāng)前鄰接點(diǎn)中距離最小的點(diǎn)的號(hào)碼 mindist = dist[j];}S[u] = true; for(int j=1; j<=n; j++)if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT){if(dist[u] + A[u][j] < dist[j]) //在通過(guò)新加入的u點(diǎn)路徑找到離v0點(diǎn)更短的路徑 {dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist prev[j] = u; //記錄前驅(qū)頂點(diǎn) }}} }?
4.算法實(shí)例
先給出一個(gè)無(wú)向圖
用Dijkstra算法找出以A為起點(diǎn)的單源最短路徑步驟如下
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Floyd算法
1.定義概覽
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點(diǎn)間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負(fù)權(quán)的最短路徑問(wèn)題，同時(shí)也被用于計(jì)算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N3)，空間復(fù)雜度為O(N2)。
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2.算法描述
1)算法思想原理：
???? Floyd算法是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。用通俗的語(yǔ)言來(lái)描述的話，首先我們的目標(biāo)是尋找從點(diǎn)i到點(diǎn)j的最短路徑。從動(dòng)態(tài)規(guī)劃的角度看問(wèn)題，我們需要為這個(gè)目標(biāo)重新做一個(gè)詮釋（這個(gè)詮釋正是動(dòng)態(tài)規(guī)劃最富創(chuàng)造力的精華所在）
????? 從任意節(jié)點(diǎn)i到任意節(jié)點(diǎn)j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j(luò)，2是從i經(jīng)過(guò)若干個(gè)節(jié)點(diǎn)k到j(luò)。所以，我們假設(shè)Dis(i,j)為節(jié)點(diǎn)u到節(jié)點(diǎn)v的最短路徑的距離，對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j(luò)的路徑比i直接到j(luò)的路徑短，我們便設(shè)置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來(lái)，當(dāng)我們遍歷完所有節(jié)點(diǎn)k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j(luò)的最短路徑的距離。
2).算法描述：
a.從任意一條單邊路徑開(kāi)始。所有兩點(diǎn)之間的距離是邊的權(quán)，如果兩點(diǎn)之間沒(méi)有邊相連，則權(quán)為無(wú)窮大。
b.對(duì)于每一對(duì)頂點(diǎn) u 和 v，看看是否存在一個(gè)頂點(diǎn) w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。
3).Floyd算法過(guò)程矩陣的計(jì)算—-十字交叉法
方法：兩條線，從左上角開(kāi)始計(jì)算一直到右下角 如下所示
給出矩陣，其中矩陣A是鄰接矩陣，而矩陣Path記錄u,v兩點(diǎn)之間最短路徑所必須經(jīng)過(guò)的點(diǎn)
相應(yīng)計(jì)算方法如下：
最后A3即為所求結(jié)果
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3.算法代碼實(shí)現(xiàn)
typedef struct { char vertex[VertexNum]; //頂點(diǎn)表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //鄰接矩陣,可看做邊表 int n,e; //圖中當(dāng)前的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù) }MGraph;void Floyd(MGraph g) {int A[MAXV][MAXV];int path[MAXV][MAXV];int i,j,k,n=g.n;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){ A[i][j]=g.edges[i][j];path[i][j]=-1;}for(k=0;k<n;k++){ for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])){
A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];path[i][j]=k;} }
}
算法時(shí)間復(fù)雜度:O(n3)
分類: 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法 好文要頂 關(guān)注我 收藏該文 as_關(guān)注 - 0
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評(píng)論
#1樓 ??
good支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/508792/20130325095912.png 2014-03-04 17:45 | ☆y急速の靈感 ★#2樓 ??
樓主講的很精辟，好文章支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/u264690.bmp 2014-04-01 15:19 | 曉O(shè)(∩_∩)O~#3樓 ??
如此的詳細(xì)支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/584151/20131120141849.png 2014-08-04 20:27 | 阿魯巴#4樓 ??
給贊！支持(0)反對(duì)(0) 2014-08-12 14:44 | silent_coder#5樓 ??
強(qiáng)大，贊支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/608121/20140227211824.png 2014-10-23 15:01 | 千葉樹#6樓 ??
能否轉(zhuǎn)載？寫的好詳細(xì)！！以前學(xué)的忘了，現(xiàn)在看看覺(jué)得好有道理！支持(1)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/632767/20141029231741.png 2014-11-05 19:07 | Godfray
#7樓[樓主] ??
@ Godfray哈哈 記得標(biāo)明出處吧支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/u426620.jpg?id=11183206 2014-11-17 14:25 | as_
#8樓 ??
結(jié)合代碼總算看懂了Dijkstra算法~支持(2)反對(duì)(0) 2014-11-29 16:14 | qinggeouye#9樓 ??
竟然可以講的如此明白支持(0)反對(duì)(0) 2014-12-02 16:12 | pppanda#10樓 ??
算法原理那里，2（是從i經(jīng)過(guò)若干個(gè)節(jié)點(diǎn)k到j(luò)）好像不等價(jià)于Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)吧？支持(0)反對(duì)(0) 2015-04-03 20:33 | yeshen#11樓 ??
@ 月下涼這句話只是在判斷這個(gè)點(diǎn)有沒(méi)有用過(guò)，并且，這個(gè)點(diǎn)還是可以走的。而且你說(shuō)的那個(gè)例子，我完全沒(méi)看懂，能不能詳細(xì)的說(shuō)下，是為什么？是怎么個(gè)走法？？？還是菜菜，希望解釋下，好學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)！支持(0)反對(duì)(0) 2015-08-03 15:16 | 梁小豬
#12樓 ??
mark支持(0)反對(duì)(0) 2015-08-04 16:52 | alex_cool#13樓 ??
寫的很好很詳細(xì)，不過(guò)Dijikstra的算法步驟第二步和第三步交換一下順序應(yīng)該更好，把除V0外的距離都初始化為MAXINT，第一步把V0加入S中，以V0為中間點(diǎn)計(jì)算修改U中各頂點(diǎn)的距離（原步驟3），然后從中選擇距離最小的頂點(diǎn)為新的中間點(diǎn)，加入S中（原步驟2），重復(fù)步驟2和步驟3。這是一個(gè)遞歸的過(guò)程，這樣感覺(jué)更順，與動(dòng)畫也更貼切。另外，我水平比較低，不過(guò)，數(shù)組真的沒(méi)越界嗎？？？支持(5)反對(duì)(0) 2015-09-16 21:28 | 營(yíng)養(yǎng)不良的紅#14樓 ??
話不多說(shuō)，一個(gè)字，好！支持(0)反對(duì)(0) 2015-11-18 13:08 | 屌絲改變世界#15樓 ??
不得不頂！支持(0)反對(duì)(0) 2015-12-29 15:55 | 阿水#16樓 ??
很清晰支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/636799/20150907113508.png 2015-12-31 22:07 | xiaoluo91#17樓 ??
請(qǐng)問(wèn)可以轉(zhuǎn)載嗎？支持(0)反對(duì)(0) 2016-01-04 03:22 | lamlamM#18樓 ??
好支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/741325/20150407174308.png 2016-03-04 12:55 | 鼬與輪回#19樓 ??
有一個(gè)疑問(wèn)，Dijkstra其實(shí)就是貪心算法的思想吧？？？支持(2)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/919841/20160323111700.png 2016-03-25 09:40 | Sampson-9#20樓 ??
代碼你跑通了嗎就發(fā)上來(lái)，不像個(gè)程序員支持(1)反對(duì)(3) 2016-04-04 22:10 | gouxake#21樓[樓主] ??
@ gouxake不好意思 這代碼是在校期間寫的
另外代碼根本沒(méi)有跑過(guò) 我當(dāng)時(shí)原本目的想寫偽代碼描述思路而已
至于具體代碼 作為個(gè)程序員 自己實(shí)現(xiàn)個(gè)也不困難吧支持(3)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/u426620.jpg?id=11183206 2016-05-06 14:05 | as_
#22樓 ??
博主寫的這篇博客，真的是太他媽好了。支持(1)反對(duì)(0) 2016-05-24 15:26 | keyeechen#23樓 ??
樓主，講的簡(jiǎn)單直白！怒贊，想問(wèn)一下樓主的動(dòng)態(tài)圖是用什么畫的了？支持(2)反對(duì)(0) 2016-06-23 11:17 | 憤怒的小菜鳥~.~#24樓 ??
很好，謝謝樓主，畫的非常直觀支持(1)反對(duì)(0) 2016-07-13 15:21 | 編程蘿卜#25樓 ??
講的很好啊，思路清晰，而且事無(wú)巨細(xì)，摟住棒棒噠~支持(1)反對(duì)(0) 2016-09-09 12:04 | 蓮動(dòng)似是故人來(lái)#26樓 ??
我只想說(shuō)一句話，本來(lái)我沒(méi)有注冊(cè)博客園帳號(hào)。我注冊(cè)的目的就是想給博主點(diǎn)個(gè)贊��支持(2)反對(duì)(0) 2016-09-14 23:03 | EsLion
#27樓 ??
樓主， 這個(gè)判斷if((!S[j]) && dist[j]<mindist)可不可以改成if( !S[j] && map[u][j] < Max )？支持(0)反對(duì)(0) 2016-09-15 15:31 | FriskyPuppy#28樓 ??
請(qǐng)問(wèn)在Dijkstra算法示例中，將D、E 之間的權(quán)重改為5或者6以上的數(shù)字，會(huì)影響最短路徑的結(jié)果么？ 小弟在推算過(guò)程中感覺(jué)改變這個(gè)值對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響。如果是這樣的話那就不是最短路徑了。 有可能是我推算的有問(wèn)題。 望大神解答支持(0)反對(duì)(0) 2016-09-17 17:20 | forwardX#29樓 ??
@ yeshen這是個(gè)類似動(dòng)態(tài)規(guī)劃的過(guò)程，在O(n^3)的運(yùn)算過(guò)程中一定可以把局部最優(yōu)解處理為全局最優(yōu)解。。。因?yàn)榫植孔顑?yōu)是全局最優(yōu)的必要條件。。。支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/788097/20150925163550.png 2016-11-15 22:37 | woodenhead
#30樓 ??
感謝博主！ 但Dijkstra算法的動(dòng)畫圖好像有一個(gè)錯(cuò)誤：在以3為中間點(diǎn)判斷到4的最短路徑時(shí)應(yīng)該時(shí)22>9+11,動(dòng)畫里好像寫反了；）支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/1072319/20161129230024.png 2016-11-30 16:56 | 李秋豪#31樓 ??
感謝博主，辛苦了。支持(0)反對(duì)(0) 2016-12-28 16:39 | Griezmann#32樓 ??
可以注冊(cè)賬號(hào)來(lái)感謝你的動(dòng)態(tài)圖，及其他，謝謝支持(0)反對(duì)(0) 2017-05-04 16:59 | SuvanCheng#33樓 ??
http://www.61mon.com/index.php/archives/194/ ，我的這篇更詳細(xì)支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/789826/20170208092208.png 2017-05-22 16:21 | 劉毅（Limer）#34樓 ??
剛剛學(xué)習(xí)算法，不大懂啊，要不要先看看凸輪的知識(shí)。。。支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/1176586/20170905173945.png 2017-07-19 15:40 | YJLAugus#35樓 ??
感謝分享支持(0)反對(duì)(0) 2017-07-28 20:56 | 噗_嗤#36樓 ??
博主 我覺(jué)得你寫Floyd算法的時(shí)候 上面文字說(shuō)的清楚 但是下面的矩陣演示就不清楚了 沒(méi)有說(shuō)明每一步劃線的含義 只是告訴我們?cè)趺醋鍪遣粔虻闹С?0)反對(duì)(0) 2017-08-02 09:50 | 剩余的明天#37樓 ??
最看不起這種用了別人的東西卻不注明出處的人！支持(0)反對(duì)(1) 2017-08-04 09:04 | yogurtice22yogadance#38樓 ??
@ Sampson-9對(duì)，弗洛伊德的思想是動(dòng)態(tài)規(guī)劃支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/1215839/20171005220935.png 2017-08-13 20:20 | Hammer_cwz_77
#39樓 ??
@ yogurtice22yogadance你寫的？你連博客都沒(méi)有。支持(0)反對(duì)(0)http://pic.cnblogs.com/face/1215839/20171005220935.png 2017-08-13 20:26 | Hammer_cwz_77
#40樓 ??
dijkstra算法解釋得異常清楚，偽代碼也很清晰，但是寫到Floyd-WarShall算法就不太認(rèn)真了噢。謝謝樓主了。支持(0)反對(duì)(0) 2017-09-18 22:30 | 不燥不怕#41樓37902282017/9/19 23:02:22 ??
非常感謝支持(0)反對(duì)(0) 2017-09-19 23:02 | learningAgain 刷新評(píng)論刷新頁(yè)面返回頂部 注冊(cè)用戶登錄后才能發(fā)表評(píng)論，請(qǐng) 登錄 或 注冊(cè)，訪問(wèn)網(wǎng)站首頁(yè)。 【推薦】50萬(wàn)行VC++源碼: 大型組態(tài)工控、電力仿真CAD與GIS源碼庫(kù)【推薦】Vue.js 2.x 快速入門，大量高效實(shí)戰(zhàn)示例
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最新評(píng)論
- 1. Re:HTTP請(qǐng)求報(bào)文和HTTP響應(yīng)報(bào)文
- 請(qǐng)問(wèn)博主，客戶端可以在不請(qǐng)求服務(wù)器端的情況下接收來(lái)自服務(wù)器的數(shù)據(jù)嗎
- –wanglian173
- 2. Re:最短路徑—Dijkstra算法和Floyd算法
- 非常感謝
- –learningAgain
- 3. Re:Linux寫時(shí)拷貝技術(shù)(copy-on-write)
- a quite clear and concrete explaination of COW in fork
- –令狐蔥dennis
- 4. Re:最短路徑—Dijkstra算法和Floyd算法
- dijkstra算法解釋得異常清楚，偽代碼也很清晰，但是寫到Floyd-WarShall算法就不太認(rèn)真了噢。謝謝樓主了。
- –不燥不怕
- 5. Re:Linux虛擬文件系統(tǒng)小結(jié)
- 您好，請(qǐng)問(wèn)一下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)圖用什么軟件畫的？
- –microyahoo
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的Dijkstra算法与Floyd算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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